Problem C. 1715. (April 2022)
C. 1715. A circle \(\displaystyle k_1\) of radius 8 cm lies in the interior of a circle \(\displaystyle k\). Both circles intersect the circle \(\displaystyle k_2\) of radius 15 cm, as shown in the figure. What is the radius of \(\displaystyle k\) if the shaded area inside \(\displaystyle k\) but outside \(\displaystyle k_1\) is equal to the total area of the shaded regions in the interior of \(\displaystyle k_2\)?
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tekintsük a következő ábrát, amelyen a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök közös részének területét \(\displaystyle T_1\)-gyel, a \(\displaystyle k_2\) kör \(\displaystyle k\) körön kívüli részének területét \(\displaystyle T_2\)-vel, a \(\displaystyle k\) körnek a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körökkel nem közös részének területét \(\displaystyle T_3\)-mal jelöltük, végül \(\displaystyle T\)-vel annak a résznek a területét, amely a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k_2\) körök közös része, de nem tartozik a \(\displaystyle k_1\) körhöz.
A feltétel szerint
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle T_1+T_2=T_3.\) |
Felírhatjuk, hogy \(\displaystyle T+T_1+T_2=15^2\pi\), továbbá a \(\displaystyle k\) kör sugarát \(\displaystyle R\)-rel jelölve \(\displaystyle R^2\pi-8^2\pi-T=T_3\). A két egyenletet összeadva \(\displaystyle T\) értéke kiesik, így azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle R^2\pi-8^2\pi+T_1+T_2=T_3+15^2\pi.\) |
A (2) egyenletből (1) alapján az következik, hogy \(\displaystyle R^2\pi=8^2\pi+15^2\pi\), a \(\displaystyle \pi\)-vel való osztás után pedig \(\displaystyle R^2=8^2+15^2=289\), innen pedig \(\displaystyle R=17\), tehát a \(\displaystyle k\) kör sugara 17 cm hosszúságú.
Megjegyzés. A feladatbeli köröket halmazoknak tekintve a \(\displaystyle T_1, T_2, T_3, T\) területeket felírhattuk volna halmazműveletek segítségével is.
Statistics:
89 students sent a solution. 5 points: 71 students. 3 points: 4 students. 2 points: 2 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022