Problem C. 1716. (April 2022)
C. 1716. In factorial representation, the place values of the digits are not the powers of a base: the \(\displaystyle n\)th place value is \(\displaystyle n\) factorial. Thus the digit in the first place is to be multiplied by 1, the digit in the second place is multiplied by 2, that in the third place is multiplied by 6, and so on. For example, the number \(\displaystyle 3310_!\) in factorial representation corresponds to the number \(\displaystyle 3\cdot4!+3\cdot3!+1\cdot2!=92\) in decimal notation. (If there is a number of more than one decimal digits in a certain place then it is indicated by using brackets.) (It can be shown that the representation is unique, that is, every positive integer has a single factorial representation. See the Informatics problems I. 553. of the January issue.) It is observed that one third of \(\displaystyle 111_!\) is \(\displaystyle 11_!\), one third of \(\displaystyle 111\;111_!\) is \(\displaystyle 22\;011_!\), and one third of \(\displaystyle 111\;111\;111_!\) is \(\displaystyle 33\;022\;011_!\). Determine the factorial representation of one third of the number that consists of \(\displaystyle 3n\) digits of 1, also given in factorial representation.
Based on the idea of I. Lénárt, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A csupa \(\displaystyle 1\)-esből álló faktoriális számrendszerbeli szám értékét hármas csoportokban határozzuk meg. Az \(\displaystyle k\)-adik \(\displaystyle 3\) darab \(\displaystyle 1\)-esből álló blokk valódi értéke (ahol \(\displaystyle 0<k \leq n\) egész szám):
\(\displaystyle (3k)!+(3k-1)!+(3k-2)!= 3k(3k-1)(3k-2)!+(3k-1)(3k-2)!+(3k-2)!=\)
\(\displaystyle =(3k-2)!(3k(3k-1)+(3k-1)+1)=(3k-2)!(3k(3k-1)+3k).\)
Ennek harmadát ebben a formában érdemes vizsgálni, hiszen a második tényezőt \(\displaystyle 3\)-mal elosztva, majd a zárójelet felbontva, a helyiértékeknek megfeleltethető formában kapjuk meg a kifejezést:
\(\displaystyle (3k-2)!(k(3k-1)+k)=k(3k-1)!+k(3k-2)!=0 \cdot (3k)!+k(3k-1)!+k(3k-2)!\)
Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle 3k\)-adik helyiértéken \(\displaystyle 0\), a \(\displaystyle (3k-1)\)-edik helyiértéken \(\displaystyle k\) és a \(\displaystyle (3k-2)\)-edik helyiértéken szintén \(\displaystyle k\) áll.
A fentiek alapján elvégezhetjük a \(\displaystyle 3\)-mal való osztást a \(\displaystyle 3n\) darab 1-esből álló faktoriális számrendszerben megadott szám összes \(\displaystyle 3\) darab \(\displaystyle 1\)-esből álló csoportján, így megkapjuk a szám harmadát, amely az
\(\displaystyle \underline{n}\ \underline{n}\ \underline{0}\ \underline{n-1}\ \underline{n-1}\ \underline{0}\ \underline{n-2}\ \underline{n-2}\ \ldots \underline{0}\ \underline{3}\ \underline{3}\ \underline{0}\ \underline{2}\ \underline{2}\ \underline{0}\ \underline{1}\ \underline{1}\ _! \)
alakban felírható, (\(\displaystyle 3n-1\))-jegyű faktoriális számrendszerbeli szám.
Statistics:
84 students sent a solution. 5 points: 64 students. 4 points: 6 students. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022