Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1717. feladat (2022. április)

C. 1717. Legyen a \(\displaystyle 15x^2-21x+7=0\) egyenlet két valós gyöke \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\). Adjuk meg az

\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} \)

kifejezés pontos értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa \(\displaystyle 21\), így valóban két különbö­ző valós gyök van. Mivel a konstans tag nem nulla, ezért a gyökök egyike sem nulla, így a feladatban szereplő törtek értelmezhetők.
A gyökök összegének és szorzatának kiszámítására felhasználjuk a Viéte-formulá­kat. A gyökök összege: \(\displaystyle \displaystyle{x_1+x_2=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}}\), a gyökök szorzata pedig \(\displaystyle \displaystyle{x_{1} \cdot x_2=\frac{7}{15}}.\) Ezután a kérdéses kifejezést olyan alakra hozzuk, hogy a fenti értékek behelyettesí­tésével könnyedén kiszámíthassuk az értékét:

\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{x_1}^2 + {x_2}^2+x_1+x_2 }{x_{1} x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_{1} x_2+x_1+x_2}{x_{1} x_2}=\)

\(\displaystyle =\frac{(x_1+x_2)(x_1+x_2+1)}{x_{1} x_2}-2=\frac{\frac{7}{5} \cdot \frac{12}{5}}{\frac{7}{15}}-2=\frac{36}{5}-\frac{10}{5}=\frac{26}{5}.\)

Az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}\) kifejezés pontos értéke \(\displaystyle \displaystyle{\frac{26}{5}}\).


Statisztika:

182 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:122 versenyző.
4 pontot kapott:8 versenyző.
3 pontot kapott:12 versenyző.
2 pontot kapott:14 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:2 dolgozat.

A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai