Problem C. 1717. (April 2022)
C. 1717. Let \(\displaystyle x_1\) and \(\displaystyle x_2\) denote the two real roots of the equation \(\displaystyle 15x^2-21x+7=0\). Find the exact value of the expression
\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} \)
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa \(\displaystyle 21\), így valóban két különböző valós gyök van. Mivel a konstans tag nem nulla, ezért a gyökök egyike sem nulla, így a feladatban szereplő törtek értelmezhetők.
A gyökök összegének és szorzatának kiszámítására felhasználjuk a Viéte-formulákat. A gyökök összege: \(\displaystyle \displaystyle{x_1+x_2=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}}\), a gyökök szorzata pedig \(\displaystyle \displaystyle{x_{1} \cdot x_2=\frac{7}{15}}.\) Ezután a kérdéses kifejezést olyan alakra hozzuk, hogy a fenti értékek behelyettesítésével könnyedén kiszámíthassuk az értékét:
\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{x_1}^2 + {x_2}^2+x_1+x_2 }{x_{1} x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_{1} x_2+x_1+x_2}{x_{1} x_2}=\)
\(\displaystyle =\frac{(x_1+x_2)(x_1+x_2+1)}{x_{1} x_2}-2=\frac{\frac{7}{5} \cdot \frac{12}{5}}{\frac{7}{15}}-2=\frac{36}{5}-\frac{10}{5}=\frac{26}{5}.\)
Az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}\) kifejezés pontos értéke \(\displaystyle \displaystyle{\frac{26}{5}}\).
Statistics:
183 students sent a solution. 5 points: 123 students. 4 points: 8 students. 3 points: 12 students. 2 points: 14 students. 1 point: 3 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 4 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022