Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1718. (April 2022)

C. 1718. Eight unit cubes are placed on a plane, and five further unit cubes are placed on top of them as shown in the figure.

Find the lengths of the sides of triangle \(\displaystyle ABC\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2022.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az alábbi ábrán az \(\displaystyle A,B,C\) pontokon kívül megjelöltük még a \(\displaystyle D,E,F,G,H,K\) pontokat. Az \(\displaystyle EDB\) és \(\displaystyle GFB\) háromszögek a kockák egy csúcsban találkozó éleinek merőlegessége miatt derékszögű háromszögek, éspedig a \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle F\) pontokban.

A Pitagorasz-tételből ezért

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle BE^2=1^2+4^2=17, \quad BG^2=1^2+3^2=10.\)

Az \(\displaystyle AE=2\) szakasz merőleges az alapsíkkal párhuzamos kockalapokra, és így a \(\displaystyle BE\) szakaszra is. Hasonlóan indokolhatjuk, hogy a \(\displaystyle CG\) szakasz merőleges \(\displaystyle BG\)-re.
Eszerint az \(\displaystyle AEB\) és \(\displaystyle CGB\) az \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle G\) pontban derékszögű háromszögek. Ezért a Pitagorasz-tétel és az (1) összefüggések felhasználásával \(\displaystyle AB^2=AE^2+BE^2=21\), azaz \(\displaystyle AB=\sqrt{21}\), valamint \(\displaystyle BC^2=CG^2+BG^2=19\), azaz \(\displaystyle BC=\sqrt{19}\).
Az előzőekhez hasonlóan egyszerűen látható, hogy \(\displaystyle EKG\) a \(\displaystyle K\) csúcsban derékszögű háromszög, ezért \(\displaystyle EG^2=3^2+2^2=13\), vagyis \(\displaystyle EG=\sqrt{13}\). Ugyanakkor világos, hogy \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle HG\) párhuzamos és egyenlő hosszúságú szakaszok, ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle AEGH\) paralelogramma. Eszerint \(\displaystyle AH=EG=\sqrt{13}\).

Az \(\displaystyle A, H\) pontok a kockák elhelyezkedése miatt az alapsíktól egyaránt 3 egység távolságra vannak, vagyis \(\displaystyle AH\) párhuzamos az alapsíkkal, de akkor \(\displaystyle AH\) merőleges az alapsíkkal derékszöget bezáró \(\displaystyle CH\) szakaszra, tehát \(\displaystyle AHC\) is derékszögű háromszög. Ismét a Pitagorasz-tétellel számolva \(\displaystyle CA^2=AH^2+CH^2=14\), tehát \(\displaystyle CA=\sqrt{14}\).

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak hossza tehát \(\displaystyle AB=\sqrt{21},\quad BC=\sqrt{19}, \quad CA=\sqrt{14}\).


Statistics:

187 students sent a solution.
5 points:80 students.
4 points:37 students.
3 points:19 students.
2 points:6 students.
1 point:11 students.
Unfair, not evaluated:16 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022