Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1719. feladat (2022. április)

C. 1719. Tekintsük az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög azon \(\displaystyle P\) belső pontjait, amelyekből az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle 135^{\circ}\)-os szögben látszik. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle PA\), \(\displaystyle PB\), \(\displaystyle PC\) szakaszokból mindig szerkeszthető háromszög, és a \(\displaystyle P\) pont bármely, a feltételnek megfelelő elhelyezkedése esetén ennek a háromszögnek az egyik szöge mindig ugyanakkora.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle AB\) szakasz fölé, az \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejébe rajzolt \(\displaystyle k\) látószögköríven helyezkedik el és nyilván nem esik egybe sem az \(\displaystyle A\), sem a \(\displaystyle B\) ponttal. (Lásd a látószögkörívvel is kapcsolatos rövid cikket honlapunkon.) A feltétel miatt ebből az következik, hogy \(\displaystyle BPA\sphericalangle=135^{\circ}\). Forgassuk el az \(\displaystyle A\) pont körül a \(\displaystyle PC\) szakaszt negatív irányba \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal. A \(\displaystyle C\) pont képe nyilván \(\displaystyle B\), a \(\displaystyle P\) pont képét \(\displaystyle P'\)-vel jelöltük.

Megjegyzés. Bizonyítható, hogy ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög bármely belső pontja, a \(\displaystyle PA, PB, PC\) szakaszokból akkor is szerkeszthető háromszög. Ekkor a feladatnak a háromszög egyik szögére vonatkozó állítása általános esetben már nem teljesül.


Statisztika:

A C. 1719. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai