Problem C. 1724. (May 2022)
C. 1724. In a triangle \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle \angle CAB=30^{\circ}\). Find the measures of the other angles of the triangle, given that the median drawn from vertex \(\displaystyle C\) encloses an angle of \(\displaystyle 45^{\circ}\) with line \(\displaystyle AB\).
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a háromszög oldalainak hossza a szokásos jelölések szerint \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle CA=b\), \(\displaystyle AB=c\), a belső szögek pedig \(\displaystyle CAB\sphericalangle=\alpha, ABC\sphericalangle=\beta, BCA\sphericalangle=\gamma\), ekkor a feltétel szerint \(\displaystyle \alpha=30^{\circ}\).
Az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontját \(\displaystyle F\)-fel, a \(\displaystyle CF\) súlyvonal hosszát \(\displaystyle s_c\)-vel jelöljük. Az \(\displaystyle s_c\) súlyvonalnak az \(\displaystyle AB\) oldallal bezárt szögére vonatkozó feltételből \(\displaystyle CFA\sphericalangle=45^{\circ}\) vagy \(\displaystyle CFA\sphericalangle=135^{\circ}\) következik.
A megoldás során látni fogjuk, hogy mindkét eset előfordulhat és a két esetben különböző szögekkel rendelkező \(\displaystyle ABC\) háromszöget kapunk.
Az \(\displaystyle s_c\) súlyvonal felezi az \(\displaystyle AB\) oldalt, ezért \(\displaystyle \displaystyle{AF=BF=\frac{c}{2}}\).
Ismeretes a súlyvonalnak az a tulajdonsága, hogy felezi a háromszög területét, ezért \(\displaystyle T_{AFC}=T_{BFC}\). A két háromszög területének kétszeresét a trigonometrikus területképlettel felírva és felhasználva, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\sin{45^{\circ}}=\sin{135^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{c}{2}\cdot{b}\cdot{\sin30^{\circ}}=\frac{c}{2}\cdot{s_c}\cdot{\sin45^{\circ}}}=\frac{c}{2}\cdot{s_c}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},\)
illetve \(\displaystyle \displaystyle{\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}}\) értékét beírva, rendezés után
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle b=s_c\cdot{\sqrt{2}}\) |
adódik. Használjuk fel a súlyvonalnak azt az ismert tulajdonságát, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle {s_c}^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}.\) |
Az (1) és (2) eredmények összevetésével azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 2a^2=c^2\), illetve
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle a\cdot{\sqrt{2}}=c.\) |
Felírhatjuk az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) oldalakra a szinusztételt, eszerint \(\displaystyle \displaystyle{\frac{c}{a}=\frac{\sin{\gamma}}{\sin{30^{\circ}}}}\), amelyből (3) alapján
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \sin{\gamma}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
következik.
A (4) összefüggésből két lehetséges értéket kapunk a \(\displaystyle \gamma\) szögre, mégpedig \(\displaystyle \gamma_1=45^{\circ}\) és \(\displaystyle \gamma_2=135^{\circ}\), a megfelelő \(\displaystyle \beta\) szögek így \(\displaystyle \beta_1=105^{\circ}\) és \(\displaystyle \beta_2=15^{\circ}\).
A feladat feltételeinek tehát két háromszög felel meg, ezeket az alábbi ábrákon láthatjuk.
Megjegyzés. Ha az \(\displaystyle ABC\) háromszöget az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontjára tükrözzük, akkor paralelogrammát kapunk, amelynek szomszédos oldalai \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle b\) hosszúságúak, átlóinak hossza pedig \(\displaystyle c\), illetve \(\displaystyle 2s_c\). Ha felhasználjuk, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege az átlók négyzetösszegével egyenlő (utóbbi a Geometriai feladatgyűjtemény I. kötetének 1671. feladata), akkor a súlyvonalnak a (2) egyenletben foglalt tulajdonsága könnyen igazolható.
Statistics:
67 students sent a solution. 5 points: Ali Richárd, Baksa Anna, Bakurek Máté, Baráth Borbála, Bettesch Helga Adél, Böröczky András Bálint, Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Egyházi Hanna, Fehérvári Donát, Fekete Patrik, Fodor Gergely, Fórizs Emma, Horváth 221 Zsóka, Hosszu Noel, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Josepovits Gábor, Kerekes András, Keszthelyi Eszter, Kosztolányi Karina, Körmöndi Márk, Kurucz Márton, Mező Levente, Nagy 292 Korina, Nagy Daniella, Pekk Márton, Petrányi Lilla, Sipeki Márton, Sütő Áron, Szabó Réka, Szpisják Zsófia Andrea, Vigh 279 Zalán, Waldhauser Miklós, Werner Kinga. 4 points: Antónyi Emő, Görcsös Ákos Attila, Hetyei Dániel, Juhász Emma, Richlik Márton, Schneider Dávid, Tomesz László Gergő. 3 points: 9 students. 2 points: 5 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2022