Problem C. 1725. (May 2022)

C. 1725. Let \(\displaystyle p\) denote a positive prime number. Given that the roots of the equation \(\displaystyle x^2-px-580p=0\) are integers, find the value of \(\displaystyle p\).

Proposed by M. Szalai, Szeged

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle x^2-px-580p=0\) egyenlet diszkriminánsa \(\displaystyle D=p^2+2320p>0\) minden \(\displaystyle p\) pozitív prímszám esetén, így az egyenletnek két különböző valós gyöke van, legyenek ezek a szokásos jelölést alkalmazva \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\). A Viéte-formulák alapján a gyökök összege

\(\displaystyle x_1+x_2=p,\)

a gyökök szorzata pedig

\(\displaystyle x_1 \cdot x_2=-580p=-2^2 \cdot 5 \cdot 29 \cdot p.\)

Mivel a gyökök szorzatának prímtényezős felbontásában szerepel a \(\displaystyle p\), ezért legalább az egyik gyök osztható \(\displaystyle p\)-vel, de ekkor a másik is osztható kell, hogy legyen \(\displaystyle p\)-vel, hiszen összegük \(\displaystyle p\), ami nyilvánvalóan osztható \(\displaystyle p\)-vel. Ha mindkét gyök osztható \(\displaystyle p\)-vel, akkor szorzatukban a \(\displaystyle p\) kitevője legalább \(\displaystyle 2\), így \(\displaystyle p\) szükségképpen a szorzatban szereplő prímek (\(\displaystyle 2; 5; 29\)) valamelyikével egyenlő, ennek megfelelően \(\displaystyle 3\) esetet tárgyalunk.

1. eset Ha \(\displaystyle p=2\), akkor az \(\displaystyle x^2-px-580p=0\) egyenletbe behelyettesítve az értékét, az \(\displaystyle x^2-2x-1160=0\) egyenletet kell megoldanunk, amelynek megoldásai nem egész számok, így ebben az esetben nem kapunk jó megoldást.

2. eset Ha \(\displaystyle p=5\), akkor az \(\displaystyle x^2-5x-2900=0\) egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai nem egész számok, így ebben az esetben sem kapunk jó megoldást.

3. eset Ha \(\displaystyle p=29\), akkor a megoldandó egyenlet az \(\displaystyle x^2-29x-16820=0\) alakot ölti, amelynek gyökei: \(\displaystyle x_1=145\) és \(\displaystyle x_2=-116\). Mindkét gyök egész szám, így ebben az esetben jó megoldást kapunk.

Több eset nincs, így \(\displaystyle p\) egyetlen lehetséges értéke, amely megfelel a feltételeknek a \(\displaystyle 29\).

Statistics:

73 students sent a solution.
5 points:	51 students.
4 points:	7 students.
3 points:	1 student.
2 points:	5 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2022