Problem C. 1734. (October 2022)

C. 1734. A circle \(\displaystyle k\) with diameter \(\displaystyle AB\) has center \(\displaystyle O\). We draw the circle \(\displaystyle k_1\) with diameter \(\displaystyle OB\), and the line parallel with \(\displaystyle AB\) that touches the circle \(\displaystyle k_1\) at point \(\displaystyle C\). This line intersects the circle \(\displaystyle k\) at points \(\displaystyle D_1\) and \(\displaystyle D_2\). Determine the angles \(\displaystyle \angle COD_1\) and \(\displaystyle \angle COD_2\) exactly.

Proposed by Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük a következő ábrát, amelyen a \(\displaystyle D_1\), illetve \(\displaystyle D_2\) pontoknak az \(\displaystyle AB\) szakaszra eső merőleges vetületét \(\displaystyle E_1\)-gyel, illetve \(\displaystyle E_2\)-vel, a \(\displaystyle k_1\) kör középpontját \(\displaystyle K\)-val, a \(\displaystyle k\) kör sugarát pedig \(\displaystyle R\)-rel jelöltük.

Mivel a \(\displaystyle D_1D_2\) egyenes érinti a \(\displaystyle k_1\) kört, ezért \(\displaystyle KC\) merőleges \(\displaystyle D_1D_2\)-re, így \(\displaystyle KC\) merőleges az \(\displaystyle AB\) egyenesre is. Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle \displaystyle{KC=KO=KB=\frac{R}{2}}\), emiatt \(\displaystyle OCK\) egyenlő szárú derékszögű háromszög, ebből \(\displaystyle KOC\sphericalangle=45^{\circ}\) következik.

Ugyanakkor \(\displaystyle D_1D_2\parallel{AB}\) miatt \(\displaystyle \displaystyle{KC=E_1D_1=\frac{R}{2}}\), és mivel \(\displaystyle OD_1=R\), ezért \(\displaystyle OD_1E_1\) egy szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle \displaystyle{E_1OD_1\sphericalangle=30^{\circ}}\).

Ez azt jelenti, hogy az egyik keresett szögre \(\displaystyle \displaystyle{\alpha=COD_1\sphericalangle=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}}\).

Az \(\displaystyle OD_1=OD_2=R\) és \(\displaystyle \displaystyle{E_1D_1=E_2D_2=\frac{R}{2}}\) egyenlőségek szerint az \(\displaystyle OD_2E_2\) és \(\displaystyle OD_1E_1\) háromszögekben két-két megfelelő oldal egyenlő hosszú, továbbá a hosszabbik oldallal szemben mindkét háromszögben derékszög van, vagyis ezek egybevágó derékszögű háromszögek és így \(\displaystyle \displaystyle{E_2OD_2\sphericalangle=30^{\circ}}\).

Ezzel megkapjuk a másik keresett szöget: \(\displaystyle \beta=\displaystyle{COD_2\sphericalangle=180^{\circ}-2\cdot30^{\circ}-\alpha=105^{\circ}}\).

Statistics:

209 students sent a solution.
5 points:	96 students.
4 points:	31 students.
3 points:	21 students.
2 points:	7 students.
1 point:	8 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	22 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2022