Problem C. 1735. (October 2022)

C. 1735. Find the real solutions of the system

(The Mathematical Association of America)

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A négyzetgyök definíciója miatt \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) is nemnegatív, valamint nevezőben szerepelnek, ezért nem egyenlők \(\displaystyle 0\)-val, azaz mindkettő pozitív valós szám.
Vezessük be az \(\displaystyle a=\sqrt{x}\) és a \(\displaystyle b=\sqrt{y}\) új ismeretleneket, ahol \(\displaystyle a>0\) és \(\displaystyle b>0\) valós szám. Ekkor egyenletrendszerünk a következő alakot ölti:

\(\displaystyle a+b=6,\)

\(\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{5}{16}.\)

Az első egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük (ez ekvivalens átalakítás, hiszen pozitívak), a második egyenlet bal oldalán elvégezzük az összeadást, majd mindkét egyenletből kifejezzük (\(\displaystyle a^2+b^2\))-et:

\(\displaystyle a^2+b^2=36-2ab,\)

\(\displaystyle a^2+b^2=\frac{5}{16}a^2b^2.\)

Az első egyenletből kivonjuk a második egyenletet, majd rendezés és nullára redukálás után látjuk, hogy az így kapott

\(\displaystyle 5a^2b^2+32ab-576=0\)

egyenlet \(\displaystyle ab\)-ben másodfokú. A gyökök \(\displaystyle (ab)_1=8\) és \(\displaystyle (ab)_2=-14,\!4\) közül csak az első jó, hiszen \(\displaystyle ab>0\). Most már csupán az

\(\displaystyle a+b=6,\)

\(\displaystyle ab=8\)

másodfokú egyenletrendszert kell megoldanunk. Ezt megtehetjük például a behelyettesítő módszer alkalmazásával, az első egyenletből kifejezzük \(\displaystyle b\)-t: \(\displaystyle b=6-a\), a kapott kifejezést pedig behelyettesítjük a második egyenletben lévő \(\displaystyle b\) helyére. Rendezés és nullára redukálás után az \(\displaystyle a^2-6a+8=0\) egyenlethez jutunk, amelynek mindkét gyöke pozitív: \(\displaystyle a_1=2\) és \(\displaystyle a_2=4\), amiből \(\displaystyle b_1=6-a_1=6-2=4\), illetve \(\displaystyle b_2=6-a_2=6-4=2\).
Utolsó lépésként kiszámítjuk az eredeti változók megfelelő értékeit: \(\displaystyle x_1=a^2_1=2^2=4\) és \(\displaystyle y_1=b^2_1=4^2=16\), illetve \(\displaystyle x_2=a^2_2=4^2=16\) és \(\displaystyle y_2=b^2_2=2^2=4\). Láttuk, hogy más megoldás nincs, ezért az egyenletrendszer megoldásai a \(\displaystyle (4; 16)\) és a \(\displaystyle (16; 4)\) valós számpárok.

Statistics:

222 students sent a solution.
5 points:	82 students.
4 points:	38 students.
3 points:	1 student.
2 points:	9 students.
1 point:	25 students.
0 point:	33 students.
Unfair, not evaluated:	19 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2022