Problem C. 1738. (November 2022)

C. 1738. A natural number is called balanced, if the number of digits in its representation in decimal notation equals the number of different prime factors it has. For example, \(\displaystyle 21\) is balanced, but \(\displaystyle 42\) is not. Is it true that there are infinitely many balanced numbers?

Proposed by K. A. Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Minden \(\displaystyle n\) darab különböző prímosztóval rendelkező szám legalább akkora, mint az első \(\displaystyle n\) darab pozitív prímszám szorzata. Kiszámítva az első \(\displaystyle 11\) pozitív prímszám szorzatát:

\(\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 = 200 \, 560 \, 490 \, 130,\)

egy \(\displaystyle 12\)-jegyű számot kapunk. Továbbmenve mindig a következő, \(\displaystyle 10\)-nél biztosan nagyobb prímszámmal szorzunk, így a szorzat értékének \(\displaystyle 10\)-es számrendszerbeli alakjában a számjegyek száma legalább \(\displaystyle 1\)-gyel nő. Ez azt jelenti, hogy az összes kiegyensúlyozott szám biztosan kisebb a fenti szorzat értékénél, így véges sok van belőlük. Következésképpen nem igaz, hogy végtelen sok kiegyensúlyozott szám van.

2. megoldás. Ha végtelen sok kiegyensúlyozott szám létezne, akkor minden \(\displaystyle k\)-ra létezne legalább \(\displaystyle k\)-jegyű kiegyensúlyozott szám. Feltehető, hogy ezekhez prímszámok szigorúan növő számosságú halmazai tartoznának. Mivel csak véges sok (25 darab) 100-nál kisebb prím létezik, azért egy \(\displaystyle t\)- jegyű kiegyensúlyozott szám \(\displaystyle t\) darab prímosztója közül legalább \(\displaystyle t-25\) darab nagyobb 100-nál, ezek szorzata pedig legalább \(\displaystyle 100^{t-25}=10^{2t-50}\), ami csak véges sok \(\displaystyle t\)-re nem nagyobb \(\displaystyle 10^t\)-nél.

Statistics:

151 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Balog Benedek, Barna Márton, Beke Botond, Bérczes Botond, Blaskovics Ádám, Braun Zsófia, Dancsák Dénes, Egyházi Godó, Farkas Ábel, Fekete Patrik, Fercsák Flórián, Fülöp Máté, Görcsös Ákos Attila, Hajós Balázs, Halász Henrik, Hauser Márton, Illés Dóra, Iván Máté Domonkos, Jeviczki Ádám, Juhos Bálint András, Jurácsik Marcell, Keszthelyi Eszter, Klement Tamás, Kószó Ferenc, Kovács Barnabás, Krüpl Boglárka, Ligeti Ábel, Mészáros Anna Veronika, Nagy 665 Martin, Nagy 707 Botond, Németh Hanna Júlia , Őri Zsombor, Pletikoszity Martin, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Sütő Áron, Tajta Sára, Teveli Jakab, Tóth Lotti Noémi, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Vén Levente, Waldhauser Miklós, Zaránd Kristóf.
4 points:	27 students.
3 points:	29 students.
2 points:	3 students.
1 point:	10 students.
0 point:	23 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2022