Problem C. 1739. (November 2022)

C. 1739. Define the following functions on the largest possible subset of the set of real numbers: \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x+5}\,\), \(\displaystyle g(x)=\frac{-2x+8}{5}\) and \(\displaystyle h(x)=[x+3]\) (here \(\displaystyle [a]\) denotes the integer part of the real number \(\displaystyle a\), that is, the greatest integer which is not greater than \(\displaystyle a\)). Find the common points of the graphs of the three functions.

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a függvénygrafikonoknak van közös pontja, amelynek első koordinátája \(\displaystyle x\), akkor arra teljesül, hogy \(\displaystyle f(x)=g(x)=h(x)\). Először megoldjuk az \(\displaystyle f(x)=g(x)\) egyenletet. Négyzetre emelés és rendezés után a \(\displaystyle 4x^2-57x-61=0\) másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei \(\displaystyle x_1=15,\!25\) és \(\displaystyle x_2=-1\). Ellenőrizzük a megoldásokat, hiszen a négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, ekkor látjuk, hogy az \(\displaystyle x_1=15,\!25\) hamis gyök, hiszen \(\displaystyle 4,\!5 \neq -4,\!5\). A másik megoldás megfelelő, hiszen \(\displaystyle f(-1)=g(-1)=2\), ami azt jelenti hogy az \(\displaystyle f(x)\) és a \(\displaystyle g(x)\) függvény grafikonjának a \(\displaystyle (-1; 2)\) pont az egyetlen közös pontja. Számítással meghatározzuk, hogy ez a pont illeszkedik-e a \(\displaystyle h(x)\) függvény grafikonjára: \(\displaystyle h(-1)=[-1+3]=[2]=2\). Mivel \(\displaystyle f(-1)=g(-1)=h(-1)=2\), ezért a \(\displaystyle (-1; 2)\) koordinátájú pont mindhárom függvénygrafikonra illeszkedik, más közös pont pedig nincsen, hiszen megmutattuk, hogy az \(\displaystyle f\) és a \(\displaystyle g\) függvénynek pontosan egy közös pontja van.

Statistics:

245 students sent a solution.
5 points:	92 students.
4 points:	43 students.
3 points:	41 students.
2 points:	23 students.
1 point:	13 students.
0 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	12 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2022