Problem C. 1743. (December 2022)

C. 1743. Seven natural numbers form an arithmetic sequence with a common difference of \(\displaystyle 30\). Show that exactly one of the numbers is divisible by \(\displaystyle 7\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a tagokat növekvő sorrendben \(\displaystyle a_i\), \(\displaystyle a_{i+1}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{i+6}\)-tal. Tegyük fel, hogy a sorozat legkisebb tagja \(\displaystyle 7\)-tel osztva \(\displaystyle m\) maradékot ad, vagyis \(\displaystyle a_i=7k+m\) alakú, ahol \(\displaystyle k \in \mathbb{N}\), valamint \(\displaystyle 0 \leq m \leq 6 \) természetes szám. Ekkor a sorozat következő tagja:

\(\displaystyle a_{i+1}=7k+m+30=7k+m+7 \cdot 4 +2= 7(k+4)+m+2\)

alakú, azaz \(\displaystyle 7\)-tel osztva \(\displaystyle m+2\) maradékot ad. Teljesen hasonlóan kapjuk meg a további tagokat:

\(\displaystyle a_{i+2}=7(k+8)+m+4,\)

\(\displaystyle a_{i+3}=7(k+12)+m+6,\)

\(\displaystyle a_{i+4}=7(k+17)+m+1,\)

\(\displaystyle a_{i+5}=7(k+21)+m+3,\)

\(\displaystyle a_{i+6}=7(k+25)+m+5.\)

Láthatjuk, hogy a hét szám \(\displaystyle 7\)-tel osztva hét különböző maradékot ad, így közülük pontosan egy osztható \(\displaystyle 7\)-tel.

Megjegyzés. Valójában ennél többet is beláttunk, hiszen megmutattuk, hogy \(\displaystyle 7\)-tel osztva bármely maradékot adó számból pontosan egy van közöttük.

Statistics:

229 students sent a solution.
5 points:	105 students.
4 points:	48 students.
3 points:	25 students.
2 points:	24 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022