Problem C. 1744. (December 2022)
C. 1744. In a triangle \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle \angle CAB =45^{\circ}\) and \(\displaystyle \angle ABC =60^{\circ}\). \(\displaystyle D\) is a point of the line segment \(\displaystyle AB\). The circumscribed circle of triangle \(\displaystyle CAD\) passes through the orthocentre of triangle \(\displaystyle ABC\). Without the use of trigonometry, find the exact value of the ratio \(\displaystyle \frac{AD}{BD}\).
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon, azaz \(\displaystyle BC=a, CA=b, AB=c\).
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög harmadik szöge nyilván \(\displaystyle BCA\sphericalangle=75^{\circ}\), tehát a háromszög minden szöge hegyesszög. Ebből az is következik, hogy a háromszög \(\displaystyle M\) magasságpontja a háromszög belső pontja. Tekintsük a következő ábrát, amelyen az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontból húzott magasságok talppontja \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\).
A keresett \(\displaystyle D\) pont csak az \(\displaystyle AF\) szakasz belső pontja lehet, ellenkező esetben az \(\displaystyle CAD\) háromszög \(\displaystyle k\) körülírt körének az \(\displaystyle M\) egy belső pontja lenne, így \(\displaystyle k\) nem haladhatna át az \(\displaystyle M\) magasságponton.
A \(\displaystyle BEMF\) négyszög húrnégyszög, mert az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) csúcsoknál levő belsző szögek derékszögek, így összegük \(\displaystyle 180^{\circ}\). Ekkor
\(\displaystyle EMF\sphericalangle=180^{\circ}-EBF\sphericalangle=120^{\circ}.\)
Mivel \(\displaystyle EMF\sphericalangle\) és \(\displaystyle CMA\sphericalangle\) csúcsszögek, ezért \(\displaystyle CMA\sphericalangle=120^{\circ}\) is teljesül.
A \(\displaystyle k\) körre illeszkednek a \(\displaystyle C\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle A\) pontok és a kerületi szögek tétele alapján a \(\displaystyle D\) pontból a \(\displaystyle CA=b\) húr ugyanakkora szögben látszik, mint az \(\displaystyle M\) pontból, ezért \(\displaystyle CDA\sphericalangle=120^{\circ}\), vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle CDB\sphericalangle=60^{\circ}.\) |
Az (1) eredmény szerint a \(\displaystyle CDB\) háromszög minden szöge \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os, tehát ez a háromszög szabályos, és emiatt \(\displaystyle BC=CD=DB=a\), vagyis \(\displaystyle AD=c-a\). Ebből következik, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{AD}{BD}=\frac{c-a}{a}}.\) |
A \(\displaystyle CDB\) szabályos háromszög \(\displaystyle CF\) magasságának hossza \(\displaystyle \displaystyle{CF=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\). Mivel a \(\displaystyle CAF\) háromszög nyilvánvalóan egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért \(\displaystyle \displaystyle{AF=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\) is fennáll.
Ugyanakkor \(\displaystyle AD+DF=AF\), azaz \(\displaystyle \displaystyle{c-a+\frac{a}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\), ahonnan rendezés után azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{c-a=\frac{a\cdot\big(\sqrt{3}-1\big)}{2}},\)
ebből pedig \(\displaystyle a\)-val való osztás után
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{c-a}{a}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}.\) |
A (2) és (3) eredmény összevetésével kapjuk a feladat megoldását: a feltételek mellett az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BD\) szakaszok arányának pontos értéke
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}.\)
Statistics:
102 students sent a solution. 5 points: 60 students. 4 points: 11 students. 3 points: 5 students. 2 points: 3 students. 1 point: 9 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022