Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1745. feladat (2022. december)

C. 1745. Oldjuk meg az \(\displaystyle x^2+8x-y=\frac{y-5}{y+6}\) egyenletet, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) egész számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadunk \(\displaystyle y\)-t, majd leválasztjuk a tört egész részét:

\(\displaystyle x^2+8x=y+\frac{y+6-11}{y+6}=y+1-\frac{11}{y+6}.\)

A feladat feltételei szerint \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egész szám, ezért a \(\displaystyle \frac{11}{y+6}\) tört értéke is egész szám kell, hogy legyen, vagyis \(\displaystyle (y+6) \mid 11\). A \(\displaystyle 11\)-nek négy osztója van, ezért 4 esetet vizsgálunk.

1. eset Ha \(\displaystyle y+6=-11\), akkor \(\displaystyle y=-17\), amelyet behelyettesítve az egyenletbe azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x^2+8x=-15\). Nullára rendezés után alkalmazhatjuk a megoldóképletet, amelyből a gyökök: \(\displaystyle x_1=-3\) és \(\displaystyle x_2=-5\), így két megoldást kapunk.

2. eset Ha \(\displaystyle y+6=-1\), akkor \(\displaystyle y=-7\), amelyből következik, hogy \(\displaystyle x^2+8x-5=0\). A kapott egyenlet gyökei nem egészek, így nem kapunk megoldást ebben az esetben.

3. eset Ha \(\displaystyle y+6=1\), akkor \(\displaystyle y=-5\), amelyből ugyanazt a másodfokú egyenletet kapjuk, mint az 1. esetben, ezért most is két megfelelő számpárt kapunk.

4. eset Ha \(\displaystyle y+6=11\), akkor \(\displaystyle y=5\), amelyből ugyanazt a másodfokú egyenletet kapjuk, mint a 2. esetben, ezért ebben az esetben sincs megoldás.

A fentiek alapján az alábbi \(\displaystyle (x;y)\) számpárok elégítik ki az eredeti egyenletet: \(\displaystyle (-3; -17), (-5; -17),(-3; -5)\) és \(\displaystyle (-5; -5)\).


Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:83 versenyző.
4 pontot kapott:15 versenyző.
3 pontot kapott:15 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:3 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai