Problem C. 1745. (December 2022)

C. 1745. Solve the equation \(\displaystyle x^2+8x-y=\frac{y-5}{y+6}\), where \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) are integers.

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadunk \(\displaystyle y\)-t, majd leválasztjuk a tört egész részét:

\(\displaystyle x^2+8x=y+\frac{y+6-11}{y+6}=y+1-\frac{11}{y+6}.\)

A feladat feltételei szerint \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egész szám, ezért a \(\displaystyle \frac{11}{y+6}\) tört értéke is egész szám kell, hogy legyen, vagyis \(\displaystyle (y+6) \mid 11\). A \(\displaystyle 11\)-nek négy osztója van, ezért 4 esetet vizsgálunk.

1. eset Ha \(\displaystyle y+6=-11\), akkor \(\displaystyle y=-17\), amelyet behelyettesítve az egyenletbe azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x^2+8x=-15\). Nullára rendezés után alkalmazhatjuk a megoldóképletet, amelyből a gyökök: \(\displaystyle x_1=-3\) és \(\displaystyle x_2=-5\), így két megoldást kapunk.

2. eset Ha \(\displaystyle y+6=-1\), akkor \(\displaystyle y=-7\), amelyből következik, hogy \(\displaystyle x^2+8x-5=0\). A kapott egyenlet gyökei nem egészek, így nem kapunk megoldást ebben az esetben.

3. eset Ha \(\displaystyle y+6=1\), akkor \(\displaystyle y=-5\), amelyből ugyanazt a másodfokú egyenletet kapjuk, mint az 1. esetben, ezért most is két megfelelő számpárt kapunk.

4. eset Ha \(\displaystyle y+6=11\), akkor \(\displaystyle y=5\), amelyből ugyanazt a másodfokú egyenletet kapjuk, mint a 2. esetben, ezért ebben az esetben sincs megoldás.

A fentiek alapján az alábbi \(\displaystyle (x;y)\) számpárok elégítik ki az eredeti egyenletet: \(\displaystyle (-3; -17), (-5; -17),(-3; -5)\) és \(\displaystyle (-5; -5)\).

Statistics:

141 students sent a solution.
5 points:	83 students.
4 points:	15 students.
3 points:	16 students.
2 points:	7 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022