Problem C. 1749. (January 2023)

C. 1749. Calculate the exact value of \(\displaystyle \sqrt[\scriptsize 3]{K}\), where \(\displaystyle K\) denotes the product of all positive factors of \(\displaystyle 2025\).

Proposed by K.\(\displaystyle \,\)A. Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A prímtényezős felbontás – \(\displaystyle 2025=3^4 \cdot 5^2\) – alapján a \(\displaystyle 2025\) pozitív osztóiban a \(\displaystyle 3\)-as prímtényező \(\displaystyle 5\)-féle hatványkitevőn szerepelhet (\(\displaystyle 0\)-tól \(\displaystyle 4\)-ig), az \(\displaystyle 5\) pedig \(\displaystyle 3\)-féle hatványkitevőn (\(\displaystyle 0\)-tól \(\displaystyle 2\)-ig), más prímtényező nincs, így \(\displaystyle 5 \cdot 3 = 15\) darab pozitív osztó van. Ha az összeset összeszorozzuk, akkor a hatványozás azonossága alapján az azonos alapú hatványok kitevői összeadódnak, így

\(\displaystyle K=3^{(0+1+2+3+4) \cdot 3} \cdot 5^{(0+1+2)\cdot 5}=3^{30} \cdot 5^{15},\)

ebből úgy vonunk köbgyököt, hogy a kitevőket elosztjuk \(\displaystyle 3\)-mal. A feladat megoldása:

\(\displaystyle \sqrt[3]{K}=3^{10} \cdot 5^5=59049 \cdot 3125= 184 \, 528 \, 125.\)

Statistics:

215 students sent a solution.
5 points:	152 students.
4 points:	14 students.
3 points:	13 students.
2 points:	8 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	12 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2023