Problem C. 1753. (February 2023)

C. 1753. A long strip of paper is divided into squares. The numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 are written in the first ten squares, then the same numbers are written in the next ten squares, too, and so on. There are exactly 2030 squares numbered in this way. A token is placed in square \(\displaystyle 1\). In each move, the token is moved as many squares ahead as the number written in the square it is standing on. What is the number in the square where the token is when its next move would get out off the paper strip of length \(\displaystyle 2030\)?

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nevezzük egységnek a papírcsík tíz olyan, egymás utáni négyzetét, amelyeket az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 10\) számozással láttunk el. Mivel \(\displaystyle 2030\) négyzetet számoztunk meg sorban ezekkel a számokkal, ezért pontosan \(\displaystyle 203\) ilyen \(\displaystyle 10\)-es egységet hoztunk létre a papírcsíkon.

A bábu kezdetben az \(\displaystyle 1\)-gyel jelölt mezőn áll, ezért az első lépés után a mellette levő, \(\displaystyle 2\)-es jelű mezőn fog állni. A második lépésben így \(\displaystyle 2\) mezőt halad előre és a \(\displaystyle 4\)-essel jelölt mezőre lép, innen pedig az első egység \(\displaystyle 8\)-as jelű négyzetére. Erről a \(\displaystyle 8\)-as mezőről \(\displaystyle 8\) mezőt kell előre haladnia, tehát a második egység \(\displaystyle 6\)-os jelű négyzetére fog lépni. Az ezután következő lépésével \(\displaystyle 6\) mezőt halad előre, ezért a harmadik egység \(\displaystyle 2\) jelű négyzetére kerül, innen a harmadik egység \(\displaystyle 4\) jelű négyzetére, következő lépésével pedig a harmadik egység \(\displaystyle 8\) jelű négyzetére. Erről a négyzetről a negyedik egység \(\displaystyle 6\)-os jelű négyzetére lép, és így tovább.

Innen már látható, hogy a megadott feltételek mellett a bábu a páratlan sorszámú egységekben mindig a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 8\) számozással ellátott négyzetekre lép (kivéve az első egységet, ahol az \(\displaystyle 1\) jelű négyzetről indul), a páros sorszámú egységekben pedig csak a \(\displaystyle 6\) jelű négyzetre.

Mivel \(\displaystyle 203\) darab \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 10\) számozással ellátott egység van, ezért a \(\displaystyle 203.\) egységben először a \(\displaystyle 2\), innen a \(\displaystyle 4\), végül a \(\displaystyle 8\) jelű négyzetre lép.

Erről a mezőről világos, hogy nem léphet tovább, mert a papírcsíkon nincs következő \(\displaystyle 6\) jelű mező.

Tehát a bábu utolsó lépésével \(\displaystyle 8\)-as jelű négyzetre kerül, ahonnan a megadott feltételek miatt nem tud tovább lépni.

Statistics:

187 students sent a solution.
5 points:	143 students.
4 points:	9 students.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	14 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2023