Problem C. 1755. (February 2023)

C. 1755. What integers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) satisfy the equality \(\displaystyle a^2+b^2-8c=6\)?

(Canadian problem)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rendezés után az \(\displaystyle a^2+b^2=8c+6\) egyenlőséget kapjuk, amelyről az alábbiakban belátjuk, hogy semmilyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egész számra nem teljesül.

1. bizonyítás. Minden egész szám felírható \(\displaystyle 4k\), \(\displaystyle 4k+1\), \(\displaystyle 4k+2\) vagy \(\displaystyle 4k+3\) alakban (\(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\)), ezeket négyzetre emelve a következőket kapjuk:
\(\displaystyle (4k)^2=16k^2\), amely osztható \(\displaystyle 8\)-cal;
\(\displaystyle (4k+1)^2=16k^2+8k+1\), amelynek \(\displaystyle 8\)-cal való osztási maradéka \(\displaystyle 1\);
\(\displaystyle (4k+2)^2=16k^2+16k+4\), amelynek \(\displaystyle 8\)-cal való osztási maradéka \(\displaystyle 4\); illetve
\(\displaystyle (4k+3)^2=16k^2+24k+9\), amelynek \(\displaystyle 8\)-cal való osztási maradéka szintén \(\displaystyle 1\).
A fentiekből következik, hogy a kapott egyenlőség bal oldalán álló \(\displaystyle a^2+b^2\), amely két négyzetszám összege, \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 0, 1, 2, 4\) vagy \(\displaystyle 5\) maradékot ad, míg a jobb oldalon lévő \(\displaystyle 8c+6\) minden \(\displaystyle c\) egészre \(\displaystyle 6\) maradékot ad \(\displaystyle 8\)-cal osztva, így a bal és a jobb oldal nem lehet egyenlő egymással.

2. bizonyítás. A jobb oldal értéke minden \(\displaystyle c\) egészre páros, hiszen \(\displaystyle a^2+b^2=2(4c+3)\), így a bal oldal értékének is párosnak kell lennie, azaz a két tag ugyanolyan paritású.

1. eset Ha \(\displaystyle a^2\) és \(\displaystyle b^2\) páros, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is az, így \(\displaystyle a=2m\) és \(\displaystyle b=2n\) alakú, ahol \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) egész szám. Behelyettesítés után \(\displaystyle 4m^2+4n^2=2(4c+3),\) amelyből \(\displaystyle 2m^2+2n^2=4c+3\) következik. Ez pedig nem teljesülhet, mert a bal oldalon páros, míg a jobb oldalon páratlan szám szerepel.

2. eset Ha \(\displaystyle a^2\) és \(\displaystyle b^2\) páratlan, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is páratlan, azaz \(\displaystyle a=2m+1\) és \(\displaystyle b=2n+1\) alakú, ahol \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) is egész szám. Ezeket behelyettesítve az \(\displaystyle 4m^2+4m+1+4n^2+4n+1=8c+6\) egyenlőséghez jutunk. Mindkét oldalból kivonunk \(\displaystyle 2\)-t, majd osztunk \(\displaystyle 4\)-gyel, így \(\displaystyle m^2+m+n^2+n=2c+1\), amelyből \(\displaystyle m(m+1)+n(n+1)=2c+1\) következik. Ekkor \(\displaystyle m(m+1)\) páros, hiszen két egymást követő egész szám szorzata, hasonlóképpen \(\displaystyle n(n+1)\) is páros, így összegük is az. Ez pedig nem teljesülhet, hiszen a jobb oldalon álló \(\displaystyle 2c+1\) páratlan.

Statistics:

119 students sent a solution.
5 points:	79 students.
4 points:	8 students.
3 points:	4 students.
2 points:	5 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	10 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2023