Problem C. 1763. (April 2023)

C. 1763. Prove that the number \(\displaystyle 4^{52}+52^{2023}+2023^{52}\) is divisible by \(\displaystyle 15\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy egész szám pontosan akkor osztható \(\displaystyle 15\)-tel, ha \(\displaystyle 3\)-mal is és \(\displaystyle 5\)-tel is osztható.

Nézzük először a \(\displaystyle 3\)-mal való oszthatóságot. A \(\displaystyle 4\)-nek a \(\displaystyle 3\)-mal való osztási maradéka \(\displaystyle 1\), ezért a \(\displaystyle 4\) pozitív egész kitevőjű hatványainak is \(\displaystyle 1\) a maradéka \(\displaystyle 3\)-mal osztva, azaz a vizsgált kifejezés első tagjának, a \(\displaystyle 4^{52}\)-nek is. Ugyanez igaz az \(\displaystyle 52\)-re és a \(\displaystyle 2023\)-ra is, így az \(\displaystyle 52^{2023}\) és a \(\displaystyle 2023^{52}\) is \(\displaystyle 1\) maradékot ad \(\displaystyle 3\)-mal osztva. Három ilyen számot összeadva a maradékok összeadódnak: \(\displaystyle 1+1+1=3\), azaz az összeg osztható \(\displaystyle 3\)-mal.

Ezután rátérünk az \(\displaystyle 5\)-tel való oszthatóságra, ehhez elegendő az utolsó számjegyet vizsgálni. A \(\displaystyle 4\) pozitív egész kitevőjű hatványainak végződései kettesével ismétlődnek (\(\displaystyle 4, 6, 4, \ldots\)), tehát a páros kitevőjű hatványai \(\displaystyle 6\)-ra végződnek, ezért a \(\displaystyle 4^{52}\) utolsó számjegye \(\displaystyle 6\). Az \(\displaystyle 52\) pozitív egész kitevőjű hatványainak végződései négyesével ismétlődnek (\(\displaystyle 2, 4, 8, 6, 2, 4 \ldots\)), tehát a \(\displaystyle 4\)-gyel osztva \(\displaystyle 3\) maradékot adó kitevő esetén a megfelelő hatvány végződése \(\displaystyle 8\), ezért az \(\displaystyle 52^{2023}\) utolsó számjegye \(\displaystyle 8\). A \(\displaystyle 2023\) pozitív egész kitevőjű hatványainak végződései szintén négyesével ismétlődnek (\(\displaystyle 3, 9, 7, 1, 3, 9 \ldots\)), tehát \(\displaystyle 4\)-gyel osztható kitevő esetén a hatvány \(\displaystyle 1\)-re végződik, ezért a \(\displaystyle 2023^{52}\) utolsó számjegye \(\displaystyle 1\). A végződések összege \(\displaystyle 6+8+1=15\), vagyis a háromtagú összeg utolsó jegye \(\displaystyle 5\), tehát osztható \(\displaystyle 5\)-tel.

Beláttuk, hogy a megadott kifejezés osztható \(\displaystyle 3\)-mal és \(\displaystyle 5\)-tel, ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statistics:

150 students sent a solution.
5 points:	104 students.
4 points:	17 students.
3 points:	10 students.
2 points:	5 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023