Problem C. 1764. (April 2023)

C. 1764. Solve the simultaneous equations

where \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) are positive real numbers.

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első egyenlet első két tényezőjét összeszorozva a

\(\displaystyle (2x^2+6x)(3x+5y)=64\)

egyenlethez jutunk. Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle a=2x^2+6x\) és a \(\displaystyle b=3x+5y\) új változókat bevezetve az egyenletrendszer a következő alakot ölti: \(\displaystyle ab=64; \quad a+b=16.\) Ezt megoldva kapjuk, hogy \(\displaystyle a=8; \quad b=8\), vagyis

\(\displaystyle 2x^2+6x=8 \quad \text{és} \quad 3x+5y=8.\)

Az első egyenletet rendezzük: \(\displaystyle 2x^2+6x-8=0,\) majd alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, így megkapjuk, hogy

\(\displaystyle x_1=1 \quad \text{és} \quad x_2=-4,\)

melyek közül utóbbi nem felel meg a feladat feltételeinek, hiszen negatív. Az \(\displaystyle x_1\)-re kapott értéket behelyettesítve a \(\displaystyle 3x+5y=8\) egyenletbe, majd az elsőfokú egyenletet megoldva kapjuk, hogy \(\displaystyle y_1=1.\)

Az eredeti egyenletrendszernek az \(\displaystyle (1;1)\) pozitív valós számpár a megoldása, amelynek helyességéről behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk.

Statistics:

154 students sent a solution.
5 points:	88 students.
4 points:	33 students.
3 points:	6 students.
2 points:	2 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	10 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023