Problem C. 1773. (September 2023)
C. 1773. Determine the value of the integer \(\displaystyle p\) such that the value of the real solution \(\displaystyle x\) of the equation \(\displaystyle (p-3)x+p+5=(2-p)x\) should be at least \(\displaystyle 2\). Find the solution of the equation for every possible \(\displaystyle p\).
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A zárójelek felbontásával és rendezéssel azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{p+5=(5-2p)x}.\) |
Mivel \(\displaystyle p\) egész szám, ezért \(\displaystyle 5-2p\neq{0}\), tehát (1) mindkét oldalát osztva az \(\displaystyle 5-2p\) kifejezéssel:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{p+5}{5-2p}}.\) |
A feltétel szerint \(\displaystyle x\geq 2\), így a
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{p+5}{5-2p}\geq 2}\) |
egyenlőtlenség \(\displaystyle p\) egész megoldásait keressük.
Két eset lehetséges: \(\displaystyle 5-2p>0\), vagy \(\displaystyle 5-2p<0\).
Ha \(\displaystyle 5-2p>0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{p<\frac{5}{2}}\), ezért a (3) egyenlőtlenség mindkét oldalát az \(\displaystyle 5-2p>0\) kifejezéssel szorozva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle p+5\geq 10-4p\), ahonnan rendezéssel \(\displaystyle p\geq 1\) adódik. A \(\displaystyle p\)-re kapott mindkét egyenlőtlenségnek csak a \(\displaystyle p=1\), illetve \(\displaystyle p=2\) egész számok felelnek meg. Ezeket az eredeti egyenletbe helyettesítve \(\displaystyle x=2\), illetve \(\displaystyle x=7\).
Ha pedig \(\displaystyle 5-2p<0\), akkor egyrészt \(\displaystyle \displaystyle{p>\frac{5}{2}}\), másrészt a (3) egyenlőtlenség mindkét oldalát az \(\displaystyle 5-2p<0\) kifejezéssel szorozva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle p\leq{1}\).
A \(\displaystyle p\)-re kapott két feltétel ezúttal ellentmond egymásnak, így az \(\displaystyle 5-2p<0\) esetben nem kapunk megfelelő \(\displaystyle p\) egész számot, és emiatt az egyenletnek sincs a feltételeknek megfelelő valós megoldása.
A feladat megoldásai tehát csak a \(\displaystyle p=1\) és \(\displaystyle p=2\) egész számok, az egyenlet ezeknek megfelelő valós megoldásai \(\displaystyle x=2\), illetve \(\displaystyle x=7\).
Statistics:
289 students sent a solution. 5 points: 89 students. 4 points: 55 students. 3 points: 31 students. 2 points: 21 students. 1 point: 27 students. 0 point: 15 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 35 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023