Problem C. 1774. (September 2023)

C. 1774. \(\displaystyle AB\parallel{CD}\) in a trapezium \(\displaystyle ABCD\). The midpoints of sides \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle CD\) are \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\), and line segments \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle DB\), \(\displaystyle FB\) intersect diagonal \(\displaystyle AC\) at points \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\), respectively. Prove that \(\displaystyle \frac{CP}{PA}\cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{CR}{RA}= \left(\frac{CD}{AB}\right)^{\!3}\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Tekintettel arra, hogy az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) alap felezőpontja, a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontok ebben a sorrendben fognak egymás után következni az \(\displaystyle AC\) átlón függetlenül attól, hogy mekkorák a trapéz oldalai.

\(\displaystyle AB\parallel CD\), ezért az alábbi szögpárok tagjai váltószögek, vagyis igazak a következő egyenlőségek: \(\displaystyle BAC\sphericalangle=ACD\sphericalangle\), \(\displaystyle AED\sphericalangle=EDC\sphericalangle\), \(\displaystyle ABD\sphericalangle=BDC\sphericalangle\) és \(\displaystyle ABF\sphericalangle=BFC\sphericalangle\), továbbá a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontoknál csúcsszögpárok vannak, így páronként egymáshoz hasonló háromszögek keletkeznek, amelyekre igazak a megfelelő oldalarányok alábbi egyenlőségei:

\(\displaystyle AEP\triangle \sim CDP\triangle \Rightarrow \frac{CP}{PA}=\frac{CD}{AE},\)

\(\displaystyle ABQ\triangle \sim CDQ\triangle \Rightarrow \frac{CQ}{QA}=\frac{CD}{AB},\)

\(\displaystyle ABR\triangle \sim CFR\triangle \Rightarrow \frac{CR}{RA}=\frac{CF}{AB}.\)

A három fenti egyenlőséget összeszorozva azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{CP}{PA}\cdot{\frac{CQ}{QA}}\cdot{\frac{CR}{RA}} = \frac{CD^2}{AB^2}\cdot \frac{CF}{AE} = \frac{CD^2}{AB^2}\cdot \frac{2CF}{2AE}=\Bigg(\frac{CD}{AB}\Bigg)^{3}.\)

Statistics:

170 students sent a solution.
5 points:	88 students.
4 points:	19 students.
3 points:	14 students.
2 points:	9 students.
1 point:	10 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	14 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023