Problem C. 1775. (September 2023)
C. 1775. \(\displaystyle P\) is an interior point of rectangle \(\displaystyle ABCD\). Determine the length of line segment \(\displaystyle PC\), given that \(\displaystyle PA=4\), \(\displaystyle PB=6\) and \(\displaystyle PD=9\).
(Vietnamese problem)
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Bocsássunk a \(\displaystyle P\) pontból merőlegeseket az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle DA\) oldalakra, a merőlegesek talppontjai legyenek rendre \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), jelöljük a téglalap \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalának hosszát \(\displaystyle a\)-val, illetve \(\displaystyle b\)-vel és legyen \(\displaystyle BE=x\), valamint \(\displaystyle CF=y\). Ekkor nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle AE=a-x\), illetve \(\displaystyle BF=b-y\). Tekintsük a következő ábrát.
Az \(\displaystyle AEPG\) és \(\displaystyle BEPF\) négyszögek téglalapok, ezért \(\displaystyle PE=b-y\), \(\displaystyle PF=x\) és \(\displaystyle PG=a-x\). A \(\displaystyle PCF\) derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle x^2+y^2=PC^2,\) |
eszerint a feladat megoldásához az \(\displaystyle x^2+y^2\) értékét kell meghatároznunk.
A \(\displaystyle PAE\), \(\displaystyle PBE\), \(\displaystyle PDG\) háromszögekre felírt Pitagorasz-tételek miatt:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle (a-x)^2+(b-y)^2=16,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle x^2+(b-y)^2=36,\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle (a-x)^2+y^2=81.\) |
A (3) és (4) egyenletek megfelelő oldalait összeadva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x^2+y^2+(a-x)^2+(b-y)^2=117\), ebből (2) felhasználásával adódik
\(\displaystyle x^2+y^2=101,\)
ezért (1) szerint \(\displaystyle PC^2=101\), tehát a \(\displaystyle PC\) szakasz hossza \(\displaystyle PC=\sqrt{101}\approx{10,05}.\)
Megjegyzés. Bizonyítható, hogy a feladat feltételeinek megfelelő téglalap létezik is. Ha például a (2) egyenletben az \(\displaystyle a-x=b-y=\sqrt{8}\) értékeket választjuk, akkor a felírt egyenletek alapján egyszerű számítással kapjuk, hogy \(\displaystyle x=\sqrt{28}\), illetve \(\displaystyle y=\sqrt{73}\), és így egyrészt \(\displaystyle PC=\sqrt{101}\), másrészt
\(\displaystyle AB=a=\sqrt{8}+\sqrt{28},\quad BC=b=\sqrt{8}+\sqrt{73}.\)
Könnyen látható az is, hogy mivel a (2) egyenletnek végtelen sok pozitív \(\displaystyle a-x\), \(\displaystyle b-y\) megoldása van, ezért végtelen sok, a feladatnak megfelelő téglalap létezik.
Statistics:
241 students sent a solution. 5 points: 147 students. 4 points: 36 students. 3 points: 8 students. 2 points: 5 students. 1 point: 2 students. 0 point: 7 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 24 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023