Problem C. 1776. (September 2023)

C. 1776. A natural number has exactly \(\displaystyle 2023\) positive divisors. How many positive divisors may its square have?

Proposed by K.\(\displaystyle \,\)A. Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ismert, hogy \(\displaystyle n=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot p_3^{\alpha_3} \cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha_n}\) prímtényezős felbontás esetén az \(\displaystyle n\) számnak pontosan

\(\displaystyle (\alpha_1+1) \cdot (\alpha_2+1) \cdot (\alpha_3+1) \cdot \ldots \cdot (\alpha_n+1)\)

pozitív osztója van. A feladat feltétele alapján a pozitív osztók száma \(\displaystyle 2023=7 \cdot 17^2\), így a \(\displaystyle 2023\) többféleképpen bontható \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb egészek szorzatára, ezért esetvizsgálatot végzünk.

1. eset. Ha magát a \(\displaystyle 2023\)-at egy egytényezős szorzatnak tekintjük, akkor \(\displaystyle n=p^{2022}\) alakú (ahol \(\displaystyle p>0\) prímszám).

Ekkor \(\displaystyle n^2=(p^{2022})^2=p^{4044}\), amelynek \(\displaystyle 4044+1=4045\) pozitív osztója van.

2. eset. Ha a \(\displaystyle 2023\)-at \(\displaystyle 7 \cdot 289\)-ként írjuk fel, akkor \(\displaystyle n=p^{6} \cdot q^{288}\) alakú (ahol \(\displaystyle p; q>0\) prímszám).

Ekkor \(\displaystyle n^2=(p^{6} \cdot q^{288})^2=p^{12} \cdot q^{576}\), amelynek \(\displaystyle 13 \cdot 577=7501\) pozitív osztója van.

3. eset. Ha a \(\displaystyle 2023\)-at \(\displaystyle 17 \cdot 119\)-ként írjuk fel, akkor \(\displaystyle n=p^{16} \cdot q^{118}\) alakú (ahol \(\displaystyle p; q>0\) prímszám).

Ekkor \(\displaystyle n^2=(p^{16} \cdot q^{118})^2=p^{32} \cdot q^{236}\), amelynek \(\displaystyle 33 \cdot 237=7821\) pozitív osztója van.

4. eset. Ha a \(\displaystyle 2023\)-at \(\displaystyle 7 \cdot 17 \cdot 17\)-ként írjuk fel, akkor \(\displaystyle n=p^{6} \cdot q^{16} \cdot r^{16}\) alakú (ahol \(\displaystyle p; q; r>0\) prímszám).

Ekkor \(\displaystyle n^2=(p^{6} \cdot q^{16} \cdot r^{16})^2=p^{12} \cdot q^{32} \cdot r^{32}\), amelynek \(\displaystyle 13 \cdot 33 \cdot 33=14157\) pozitív osztója van.

Több eset nincs, ezért ha egy természetes számnak \(\displaystyle 2023\) pozitív osztója van, akkor a négyzetének \(\displaystyle 4045\), \(\displaystyle 7501\), \(\displaystyle 7821\) vagy \(\displaystyle 14157\) pozitív osztója lehet.

Statistics:

106 students sent a solution.
5 points:	Barna Márton, Beke Botond, Bérczes Botond, Braun Zsófia, Bunford Luca, Csáki Botond Benjámin, Détári Szabolcs, Fórizs Borbála, Gerencsér László, Gombos Dániel , Gyuricsek Ákos, Han Xinzhi, Harmincz Sára, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Juhos Bálint András, Kádas Dániel, Kuczy Dorottya, Leskó Gábor, Márfai Dóra, Mező Levente, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Oláh András, Pánovics Máté, Papp Zsófia, Petró Péter, Polyányi Lora Molli, Puskás Péter, Raffay Gergely, Szabó Donát, Tasnády-Szeőcs Zoltán, Tibor Varga, Tóth Ágoston, Tóth-Falusi Mihály, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Varga Balázs, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka, Zoikasz Nikolasz.
4 points:	16 students.
3 points:	6 students.
2 points:	24 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023