Problem C. 1777. (September 2023)
C. 1777. The legs of a right-angled triangle are 36 cm and 77 cm long. The angle bisector is drawn to the longer leg. What is the total length of the angle bisector that does not lie in the inscribed circle?
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög befogói \(\displaystyle BC=77 \textrm{ cm}\) és \(\displaystyle CA=36 \textrm{ cm}\), ekkor a Pitagorasz-tétel segítségével az \(\displaystyle AB\) átfogó hossza \(\displaystyle AB=85 \textrm{ cm}\). A belső szögfelezők a beírt kör \(\displaystyle K\) középpontjában metszik egymást, legyen a \(\displaystyle k\) beírt kör sugara \(\displaystyle r\), a \(\displaystyle k\) kör a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontokban érintse. Jelöljük a \(\displaystyle 77 \textrm{ cm}\)-es \(\displaystyle BC\) befogóhoz tartozó belső szögfelezőnek a \(\displaystyle k\) körrel való metszéspontjait \(\displaystyle P\)-vel, illetve \(\displaystyle Q\)-val, a \(\displaystyle BC\)-vel való metszéspontját pedig \(\displaystyle R\)-rel az alábbi ábra szerint.
A feladat megoldásához az \(\displaystyle AR-PQ=AR-2r\) távolság értékét kell megállapítani.
Az \(\displaystyle AR\) szögfelező hosszának kiszámításához felírjuk a belső szögfelező tételét, eszerint
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{CR}{BC-CR}=\frac{AC}{AB}},\)
azaz
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{CR}{77-CR}=\frac{36}{85}}.\) |
Az (1) egyenletből a műveletek elvégzésével és rendezéssel kapjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{CR=\frac{252}{11}}.\)
Az \(\displaystyle ARC\) derékszögű háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle \displaystyle{AR^2=CR^2+AC^2}\), ahonnan
\(\displaystyle \displaystyle{AR^2=\Bigg(\frac{252}{11}\Bigg)^2+36^2}.\)
Ebből az \(\displaystyle AR\) szakasz hossza:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle AR=\displaystyle{\frac{36\cdot \sqrt{170}}{11}\approx 42,67 \textrm{ cm}}.\) |
A \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle 2r\) átmérőjének kiszámításához vegyük figyelembe, hogy a \(\displaystyle DCEK\) négyszög szögei derékszögek, \(\displaystyle KD=KE=r\), ezért \(\displaystyle DCEK\) négyzet, és így \(\displaystyle CE=CD=r\). Ez azt jelenti, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle AE=AC-r,\qquad BD=BC-r.\) |
A \(\displaystyle k\) körhöz az \(\displaystyle A\) pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak, ezért \(\displaystyle AE=AF\), hasonlóan adódik a \(\displaystyle B\) pontból húzott érintőszakaszokra, hogy \(\displaystyle BD=BF\). Ugyanakkor \(\displaystyle AF+BF=AB\), ebből (3) felhasználásával adódik, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle AB=AC+BC-2r.\) |
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak ismeretében (4) alapján kiszámíthatjuk \(\displaystyle 2r\) értékét:
\(\displaystyle 2r=28.\)
Ennek alapján a (2) eredmény segítségével az \(\displaystyle AR-PQ=AR-2r\) távolságra azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{AR-PQ=\frac{36\cdot \sqrt{170}}{11}-28\approx{14,67 \textrm{ cm}}.}\)
A feladat feltételei mellett tehát a hosszabb befogóhoz tartozó belső szögfelezőnek ekkora része nem esik a beírt kör belsejébe.
Megjegyzések. 1) A (4) alatti eredmény a derékszögű háromszögekre érvényes, ismert összefüggés.
2) A beírt kör sugarát kiszámolhatjuk a minden háromszög \(\displaystyle T\) területére igaz \(\displaystyle T=r\cdot s\) tétel segítségével is, ahol \(\displaystyle s\) a háromszög félkerülete.
3) Mivel \(\displaystyle DCEK\) négyzet, ezért \(\displaystyle CD=CE=r\) és az ismert \(\displaystyle CD=CE=s-c\) összefüggés szerint \(\displaystyle r=14\).
Statistics:
97 students sent a solution. 5 points: Balogh Péter, Beke Botond, Bérczes Botond, Bettesch Emma Léda, Biborka Bernadett, Bilicska Emma, Braun Zsófia, Ferencsik Zsombor, Fiser 234 Boldizsár, Gyuricsek Ákos, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Jankovics Gábor, Komorjai Zsigmond László, Kuczy Dorottya, Lipták Bence , Márfai Dóra, Menyhárt Eszter Panna, Nagy 292 Korina, Palásthy Bánk, Petró Péter, Simon Bálint, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Visontai Viktor, Vu Ngoc Thao-Minh, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka. 4 points: 36 students. 3 points: 16 students. 2 points: 5 students. 1 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023