Problem C. 1778. (October 2023)

C. 1778. Find all integers \(\displaystyle n\) for which \(\displaystyle 1+2+3+\cdots +n\), in decimal notation, equals a three digit number of identical digits.

(Vietnamese problem)

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat feltételei alapján \(\displaystyle 1+2+3+...+n=k \cdot 111,\) ahol \(\displaystyle 0< k < 10\) egész szám. Most a bal oldalon alkalmazzuk az első \(\displaystyle n\) darab pozitív szám összegére ismert Gauss-féle képletet, a jobb oldalon pedig felbontjuk a \(\displaystyle 111\)-et prímtényezőire:

\(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=3 \cdot 37 \cdot k,\)

amiből

\(\displaystyle n(n+1)=2 \cdot 3 \cdot 37 \cdot k.\)

Az egyenlet bal oldalán két egymást követő pozitív egész szám szorzata áll, ezért ennek megfelelően a jobb oldalon lévő szorzat tényezőit is csoportosítjuk. Mivel \(\displaystyle k\) egyjegyű, pozitív egész, ezért \(\displaystyle k < 2k < 3k \le 27\). Ebből az következik, hogy a két egymást követő egész szám a \(\displaystyle 37\) és a \(\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot k=6k\). Utóbbi osztható \(\displaystyle 6\)-tal, ezért nem lehet a \(\displaystyle 37\)-et követő \(\displaystyle 38\). Így egyetlen lehetőségünk, hogy a kisebbik tényező a \(\displaystyle 2 \cdot 3\cdot k=6k=36\), a nagyobbik pedig a \(\displaystyle 37\), azaz \(\displaystyle k=6\). Ekkor \(\displaystyle n=36\), amely a feladat egyetlen megoldása. Ellenőrizve azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 1+2+3+ ... +36=\frac{36 \cdot 37}{2}=666\), tehát a \(\displaystyle 36\) valóban megfelel a feltételeknek.

Statistics:

307 students sent a solution.
5 points:	175 students.
4 points:	51 students.
3 points:	18 students.
2 points:	6 students.
1 point:	11 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	28 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023