Problem C. 1779. (October 2023)

C. 1779. Prove that there exist infinitely many triangles in which the lengths of the sides are

\(\displaystyle \frac{3x}{2};\quad 2x-1;\quad 3x+1 \)

where \(\displaystyle x\) is a positive integer. Determine the length of the sides in the triangle of the smallest perimeter.

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle x\) pozitív egész, ezért egyrészt a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{3x}{2}}\),  \(\displaystyle 2x-1\),  \(\displaystyle 3x+1\) számok mindegyike pozitív, másrészt \(\displaystyle \displaystyle{3x+1>2x-1}\), illetve \(\displaystyle \displaystyle{3x+1>\frac{3x}{2}}\). Mivel mindhárom szám pozitív, így akkor és csak akkor létezik olyan háromszög, amelynek oldalhosszai a megadott számok, ha teljesül rájuk a háromszög-egyenlőtlenség.

A háromszög-egyenlőtlenséget az előzőek szerint elegendő felírni a két legrövidebb oldal összegére. A kérdéses oldalhosszakkal rendelkező háromszög tehát akkor és csak akkor létezik, ha

A műveletek elvégzése és rendezés után kapjuk, hogy az (1) egyenlőtlenség megoldásai az

\(\displaystyle x>4\)

egyenlőtlenségnek megfelelő pozitív egész számok.

Ilyen pozitív egész szám nyilván végtelen sok van, ez pedig azt jelenti, hogy végtelen sok olyan háromszög létezik, amelyek oldalhosszai a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{3x}{2};\quad 2x-1;\quad 3x+1}\) számok.

Mivel az \(\displaystyle \displaystyle{f(x)=\frac{3x}{2};\quad g(x)=2x-1;\quad h(x)=3x+1}\) elsőfokú függvények mindegyike szigorúan monoton növekvő, ezért a feltételeknek megfelelő legkisebb oldalhosszakkal rendelkező háromszöget akkor kapjuk, ha \(\displaystyle x=5\), ekkor a háromszög oldalainak hossza

\(\displaystyle 7,5;\quad 9;\quad 16.\)

Megjegyzések. 1) Ha a háromszög leghosszabb oldalával szemben fekvő szöget \(\displaystyle \gamma\)-val jelöljük, akkor felírva erre a koszinusztételt, a műveletek elvégzése, rendezés és egyszerűsítés után

\(\displaystyle \displaystyle{\cos \gamma=\frac{-11x-40}{12\cdot (2x-1)}}.\)

Eszerint a feltételeknek megfelelő háromszögek mindegyike tompaszögű, hiszen az \(\displaystyle x>4\) értékekre nyilván \(\displaystyle \cos \gamma<0\).

2) Könnyen belátható, hogy a feltételeknek megfelelő háromszögek között nincsenek hasonló háromszögek.

Statistics:

318 students sent a solution.
5 points:	176 students.
4 points:	55 students.
3 points:	15 students.
2 points:	9 students.
1 point:	4 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	35 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023