Problem C. 1780. (October 2023)
C. 1780. Are there ordered pairs \(\displaystyle (a;b)\) of positive integers for which both \(\displaystyle a^2-2b\) and \(\displaystyle b^2-2a\) are perfect squares?
German competition problem
(5 pont)
Deadline expired on November 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik a feladat feltételeinek megfelelő \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) számpár, és nézzük meg, mik következnek ebből. Ekkor teljesülne, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2>a^2-2b},\) |
hiszen ez minden \(\displaystyle a\) és pozitív \(\displaystyle b\) esetén igaz, valamint \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) közül az egyik nem kisebb, mint a másik. Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) szerepe teljesen szimmetrikus, feltehető, hogy az \(\displaystyle a\) nem kisebb, vagyis \(\displaystyle a \geq b\) . Ebből következik, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2-2b\geq a^2-2a=(a-1)^2-1}.\) |
Az (1) és (2) sorok összevetéséből kiderül, hogy \(\displaystyle a^2–2b\) olyan négyzetszám, amely \(\displaystyle a^2\)–nél kisebb, de \(\displaystyle ((a–1)^2-1)\)–nél nem kisebb. Vagyis \(\displaystyle a^2–2b\) vagy maga az \(\displaystyle (a–1)^2\), vagy egy olyan négyzetszám, ami egy másik négyzetszámnál – az \(\displaystyle (a–1)^2\)-nél – eggyel kisebb. Szomszédos négyzetszámok csak az 1 és a 0, vagyis ez utóbbi esetben \(\displaystyle a^2–2b=0\). Az \(\displaystyle a \geq b\) feltétel miatt ez csak úgy teljesülhet, ha \(\displaystyle a=b=2\). Ez helyes eredmény, mivel ekkor \(\displaystyle b^2–2a\) is 0, vagyis szintén négyzetszám.
Az első esetben viszont annak kéne teljesülnie, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2-2b=(a-1)^2}.\) |
Ekvivalens átalakításokkal a (3) egyenlőség a \(\displaystyle 2a–1= 2b\) alakra hozható, amiből látszik, hogy ez semelyik \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egészre nem teljesül, hiszen a bal oldalon páratlan, a jobb oldalon páros szám áll.
Vagyis csak egy ilyen pár van, a \(\displaystyle (2;2)\).
Statistics:
141 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Braun Zsófia, Budai Máté, Danka Emma, Domján István, Fiser 234 Boldizsár, Győri Áron, Gyuricsek Ákos, Harmincz Sára, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Kriston Nándor, Libor Andrea, Milovecz Fruzsina Panka, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Pázmándi Renáta , Petró Péter, Sipos Márton, Szabó Donát, Szőke Klára, Tóth Marcell Domonkos, Török Eszter Júlia, Volford Barnabás. 4 points: 18 students. 3 points: 8 students. 2 points: 8 students. 1 point: 27 students. 0 point: 20 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions. Not shown because of missing birth date or parental permission: 13 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023