Problem C. 1781. (October 2023)

C. 1781. Solve the simultaneous equations

over the set of real number pairs.

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nem veszítünk gyököt azzal, ha összeadjuk a két egyenletet. Ezt elvégezve és 0-ra rendezve az így kapott egyenletet a következőhöz jutunk:

\(\displaystyle 0=x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1).\)

Ezek szerint az \(\displaystyle x\) értéke csak \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle -2\) vagy \(\displaystyle 1\) lehet. Vizsgáljuk meg, hogy az \(\displaystyle x=0\), \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=1\) esetekhez milyen \(\displaystyle y\)-ok tartoznak!

1. Ha \(\displaystyle x=0\), akkor a \(\displaystyle \sqrt{y^2-21y}=\sqrt{y(y-21)}=0\) megoldásaiként az \(\displaystyle y=0\) és \(\displaystyle y=21\) adódik.
2. Ha \(\displaystyle x=-2\), akkor a \(\displaystyle -6+\sqrt{y^2-21y}=8\), illetve rendezés után az \(\displaystyle y^2-21y-196=0\) egyenlet megoldásaiként az \(\displaystyle y=-7\) és \(\displaystyle y=28\) adódik.
3. Ha \(\displaystyle x=1\), akkor a behelyettesítés és rendezés után azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{y^2-21y}=-1\), tehát ezen az ágon nincs megoldás.

Tehát az egyenletrendszer megoldásaként csak az \(\displaystyle x_1=0\), \(\displaystyle y_1=0\), \(\displaystyle x_2=0\), \(\displaystyle y_2=21\), \(\displaystyle x_3=−2\), \(\displaystyle y_3=-7\) és az \(\displaystyle x_4=−2\), \(\displaystyle y_4=28\) számpárok jöhetnek szóba. Ezeket behelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe kiderül, hogy mind a négy \(\displaystyle (x, y)\) számpár megoldás is.

Statistics:

153 students sent a solution.
5 points:	97 students.
4 points:	23 students.
3 points:	8 students.
2 points:	9 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023