Problem C. 1783. (November 2023)

C. 1783. Let \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) and \(\displaystyle d\) be positive integers such that the open interval \(\displaystyle \left(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\right)\) includes \(\displaystyle 1\). Prove that

\(\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a+c+1}{b+d+1}<\frac{c}{d}. \)

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételek miatt az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}}\) és \(\displaystyle \displaystyle{\frac{c}{d}}\) olyan pozitív racionális számok, amelyekre \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}}<1\) és \(\displaystyle \displaystyle{\frac{c}{d}}>1,\) azaz

\(\displaystyle a<b,\qquad c>d,\)

továbbá \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}<\frac{c}{d}}\) miatt

\(\displaystyle \displaystyle{ad<bc}.\)

Először az

\(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}<\frac{a+c+1}{b+d+1}}\)

egyenlőtlenséget bizonyítjuk, amelyben a jobb oldalon szereplő tört számlálója és nevezője a feltételek miatt pozitív egész.

A bizonyítandó egyenlőtlenség ekvivalens átalakítását jelenti, ha a pozitív egész nevezőkkel szorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát. Ebből az következik, hogy \(\displaystyle ab+ad+a<ab+bc+b\), illetve

Az (1) egyenlőtlenség pedig teljesül, hiszen az \(\displaystyle a<b\) és \(\displaystyle ad<bc\) egyenlőtlenségek megfelelő oldalainak összeadásával éppen ezt kapjuk.

Az

\(\displaystyle \displaystyle{\frac{a+c+1}{b+d+1}<\frac{c}{d}}\)

egyenlőtlenséget szintén ekvivalens módon alakítjuk át, ha a pozitív egész nevezőkkel szorzunk. Ebből előbb az adódik, hogy \(\displaystyle ad+cd+d<bc+cd+c\), ahonnan

A (2) egyenlőtlenség is teljesül, hiszen a fentiek szerint \(\displaystyle ad<bc\) és \(\displaystyle d<c\). Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Megjegyzés. Az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a+c+1}{b+d+1}}\) pozitív racionális szám értéke \(\displaystyle 1\) is lehet, ez pontosan akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle a+c=b+d\). Ilyen pozitív egészek léteznek, például az

\(\displaystyle a=2,\qquad c=7,\qquad b=5,\qquad d=4\)

számok, ezekre a feladat többi feltétele is fennáll.

Statistics:

183 students sent a solution.
5 points:	Balogh Péter, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Braun Zsófia, Dancsák Dénes, Gyuricsek Ákos, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Medgyesi Júlia, Mizsei Márton, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 292 Korina, Nelissen Sámuel Zalán, Petró Péter, Rácz Kata, Somogyi Dóra, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Viczián Márk, Zádori Gellért.
4 points:	82 students.
3 points:	15 students.
2 points:	11 students.
1 point:	6 students.
0 point:	17 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	16 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023