Problem C. 1784. (November 2023)

C. 1784. The shorter leg of right triangle \(\displaystyle ABC\) has length \(\displaystyle 1\). The ratio of the angles \(\displaystyle \varphi\) and \(\displaystyle \varepsilon\) between the height from the right angle (perpendicular to hypotenuse \(\displaystyle AB\)) and the angle bisectors of the acute angles is

\(\displaystyle \frac{\varphi}{\varepsilon}=\frac{4}{5}. \)

Find the angles of the triangle and the length of the height corresponding to the hypotenuse.

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Az ábrán látható \(\displaystyle ABC\) háromszög teljesíti a feladat feltételeit: derékszögű, és rövidebbik befogója \(\displaystyle 1\).

Tekintve, hogy \(\displaystyle AC< CB\), az is igaz, hogy \(\displaystyle CAB\sphericalangle >CBA\sphericalangle\), hiszen nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög található. Az utóbbi egyenlőtlenségből viszont az következik, hogy az \(\displaystyle APT_c\) és \(\displaystyle BQT_c\) derékszögű háromszögek hegyesszögeire az alábbi összefüggések igazak (ahol \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle BQ\) a feladat szövegében szereplő szögfelezők):

\(\displaystyle PAT_c \sphericalangle=\frac{CAB\sphericalangle}{2} > \frac{CBA\sphericalangle}{2}=QBT_c \sphericalangle.\)

A háromszög belső szögeinek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), tehát az is teljesül, hogy

\(\displaystyle \displaystyle{APT_c \sphericalangle < BQT_c\sphericalangle}.\)

Tekintve a feladat szövegében megadott feltételt erre az utóbbi két szögre, azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \displaystyle{\varphi=APT_c \sphericalangle=4x},\)

\(\displaystyle \displaystyle{\epsilon=BQT_c\sphericalangle=5x},\)

ahogyan ezt az ábrán is jelöltük. Mindezek alapján

\(\displaystyle CAT_c\sphericalangle=2\cdot(90^{\circ}-4x),\qquad CBT_c\sphericalangle=2\cdot(90^{\circ}-5x).\)

Ebből az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögeire az alábbi egyenlet adódik:

\(\displaystyle 180^{\circ}-8x+180^{\circ}-10x=90^{\circ},\)

az egyenlet megoldása \(\displaystyle x=15^{\circ}\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögei tehát

\(\displaystyle CAT_c=CAB\sphericalangle=180^{\circ}-8\cdot15^{\circ}=60^{\circ},\)

\(\displaystyle CBT_c=ABC\sphericalangle=180^{\circ}-10\cdot15^{\circ}=30^{\circ}.\)

Ebből következik, hogy az \(\displaystyle ACT_c\) háromszög egy szabályos háromszög fele, így \(\displaystyle \displaystyle{AT_c=\frac{1}{2}}\). Ha erre a háromszögre alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, akkor azt kapjuk, hogy az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle AB\) átfogójához tartozó magassága:

\(\displaystyle \displaystyle{CT_c=\frac{\sqrt{3}}{2}}.\)

Statistics:

220 students sent a solution.
5 points:	58 students.
4 points:	101 students.
3 points:	14 students.
2 points:	7 students.
1 point:	1 student.
0 point:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	19 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023