Problem C. 1786. (November 2023)

C. 1786. We roll five four-sided tetrahedral dies. Find the probability that the resulting five numbers can be the degrees of a tree on five vertices.

Proposed by B. Kovács, Szombathely

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ötcsúcsú fagráfból háromféle létezik. Ha a maximális fokszám \(\displaystyle 2\), akkor kizárólag az (1) típust kapjuk, ha a maximális fokszám \(\displaystyle 3\), akkor a (2) típust, ha pedig \(\displaystyle 4\), akkor a (3)-t.

\(\displaystyle (1) \hspace{5cm} (2) \hspace{5cm} (3)\)

Ezeknek a fokszámsorozatatai rendre a következők:

\(\displaystyle 1,1,2,2,2 \hspace{2cm}1,1,1,2,3 \hspace{2cm}1,1,1,1,4\)

Ha az öt szabályos dobótetraéderrel dobunk, akkor összeszámolhatjuk a fenti esetekben a fokszámok ismétléses permutációinak számát, vagyis azt, hogy hányféleképpen jöhetnek ki a három esethez tartozó kedvező dobássorozatok:

\(\displaystyle \frac{5!}{2!\cdot3!}=10,\hspace{2cm}\frac{5!}{3!}=20,\hspace{2cm}\frac{5!}{4!}=5.\)

Az összes lehetséges dobássorozat száma pedig:

\(\displaystyle 4^5=1024.\)

A keresett valószínűség tehát:

\(\displaystyle \frac{10+20+5}{1024}=\frac{35}{1024}=0,0341796875.\)

Statistics:

108 students sent a solution.
5 points:	55 students.
4 points:	13 students.
3 points:	11 students.
2 points:	10 students.
1 point:	2 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023