Problem C. 1788. (December 2023)

C. 1788. Solve the equation \(\displaystyle 14x^2+15y^2=7^{2023}\) for integer values of \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\).

(Based on a Swiss competition problem)

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalából \(\displaystyle 14x^2\)-t levonva a \(\displaystyle 15y^2=7^{2023}-14x^2\) egyenletet kapjuk, melynek a jobb oldalán álló kifejezés osztható \(\displaystyle 7\)-tel, ezért a bal oldalnak is osztója kell, hogy legyen a \(\displaystyle 7\). Az előzőekből az következik, hogy \(\displaystyle y^2\) osztható \(\displaystyle 7\)-tel, hiszen a \(\displaystyle 15\) nem osztható \(\displaystyle 7\)-tel. Mivel a \(\displaystyle 7\) prímszám, ezért ha \(\displaystyle 7 \vert y^2\), akkor \(\displaystyle 7 \vert y\), azaz \(\displaystyle y=7y_1\) alakú, ahol \(\displaystyle y_1 \in \mathbb{Z}\). Ezt behelyettesítve az eredeti egyenletben \(\displaystyle y\) helyére, a \(\displaystyle 14x^2+15 \cdot (7y_1)^2=7^{2023}\) egyenletet kapjuk, amely azonos átalakítások után a

egyenletre vezet. Az előzőekhez teljesen hasonló megfontolások alapján láthatjuk, hogy \(\displaystyle x\) osztható kell, hogy legyen \(\displaystyle 7\)-tel, azaz felírható \(\displaystyle x=7x_1\) alakban, ahol \(\displaystyle x_1 \in \mathbb{Z}\). Ezt most az \(\displaystyle (1)\)-be helyettesítjük, \(\displaystyle 7\)-tel egyszerűsítünk, így a

egyenletet kapjuk, amely a feladatban megadott egyenlettel analóg, csak a \(\displaystyle 7\) kitevőjét sikerült \(\displaystyle 2\)-vel csökkentenünk. Így a megoldás elején tett megállapításaink erre az egyenletre is érvényesek, ezért megismételhetjük az előzőekben leírt eljárást, amíg a \(\displaystyle 7\) kitevője \(\displaystyle 1\)-re csökken. Ekkor ha \(\displaystyle x=7^{1011}x'\) és \(\displaystyle y=7^{1011}y'\) (\(\displaystyle x'\) és \(\displaystyle y'\) egész számok), akkor a

\(\displaystyle 14(x')^2+15(y')^2=7\)

egyenletet kapjuk, amely nem teljesülhet, hiszen \(\displaystyle x'=y'=0\) esetén a bal oldal értéke \(\displaystyle 0\). Minden más esetben \(\displaystyle (x')^2 \ge 1\) vagy \(\displaystyle (y')^2 \ge 1\), ezért a bal oldalon álló kifejezés értéke legalább \(\displaystyle 14\), ami nem lehet egyenlő \(\displaystyle 7\)-tel. Beláttuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása az egész számpárok halmazán.

Statistics:

178 students sent a solution.
5 points:	74 students.
4 points:	34 students.
3 points:	19 students.
2 points:	15 students.
1 point:	9 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	13 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023