Problem C. 1790. (December 2023)
C. 1790. Find the smallest possible value of the expression \(\displaystyle x^2+y^2+5z^2-xy-3yz-zx+3x-4y+7z\) for real values of \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) and \(\displaystyle z\).
Vietnamese problem
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kifejezés átalakítható a következő alakra:
\(\displaystyle x^2+y^2+5z^2-xy-3yz-zx+3x-4y+7z=\frac{1}{2}\left((x-y+1)^2+(x-z+2)^2+(3z-y+3)^2\right)-7.\)
Ebből látszik, hogy a kifejezés nagyobb vagy egyenlő mint \(\displaystyle -7\), egyenlőség pedig pontosan akkor következik be, ha az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) valós számokra teljesül, hogy \(\displaystyle x-y+1=0\), \(\displaystyle x-z+2=0\) és \(\displaystyle 3z-y+3=0\). Oldjuk meg tehát az alábbi egyenletrendszert:
$$\begin{align*} x-y+1 &=0, \\ x-z+2 &=0, \\ 3z-y+3 &=0. \end{align*}$$Az elsőből kivonva a másodikat az (1)\(\displaystyle -\)(2) egyenlet és a (3) adja a következő egyenletpárt:
$$\begin{align*} z-y-1 &=0, \\ 3z-y+3 &=0. \end{align*}$$A fölsőből kivonva az alsót azt kapjuk, hogy
$$\begin{align*} -2z -4 &=0, \\ z &=-2. \end{align*}$$Ezt visszahelyettesítve a (2)-be, majd a kapott eredményt (\(\displaystyle x=-4\)) az (1)-be az alábbi számhármas adódik: \(\displaystyle x=-4\), \(\displaystyle y=-3\), \(\displaystyle z=-2\). Erre a számhármasra az eredeti kifejezés értéke valóban \(\displaystyle -7\), tehát ez a kifejezés legkisebb értéke.
Statistics:
96 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Braun Zsófia, Budai Máté, Danka Emma, Harmincz Sára, Hodossy-Takács Ráhel, Hollósi Dominik, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Kószó Ferenc, Kovács Dániel, Kővágó Edit Gréta, Kriston Nándor, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 292 Korina, Pánovics Máté, Papp Zsófia, Pázmándi Renáta , Rasztgyörgy Jázmin, Simon Bálint, Sipos Márton, Szabó Donát, Török Eszter Júlia, Žigo Boglárka. 4 points: Baksa Anna, Barna 201 Krisztina, Bartusková Viktória, Gyuricsek Ákos, Lukács Ármin, Medgyesi Júlia, Németh Hanna Júlia , Pázmándi József Áron, Petró Péter, Tóth Hanga Katalin, Tóth Marcell Domonkos, Válek Péter, Volford Barnabás. 3 points: 2 students. 2 points: 5 students. 1 point: 3 students. 0 point: 25 students. Unfair, not evaluated: 7 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 5 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023