Problem C. 1791. (December 2023)

C. 1791. Solve the equation

\(\displaystyle \frac{8^x - 15 625}{4^x + 25 \cdot 2^x + 625} = 2023\)

for real values of \(\displaystyle x\).

Submitted by Olivér Teleki, Tököl

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán található tört nevezője nem lehet \(\displaystyle 0\), hiszen \(\displaystyle 2^x>0\) minden \(\displaystyle x\in \mathbf{R}\) esetén, tehát az értelmezési tartomány az egész \(\displaystyle \mathbf{R}\). Vezessük be a következő jelölést: \(\displaystyle 2^x=y\). Így az egyenlet ebben az alakban írható fel:

\(\displaystyle \frac{y^3-25^3}{y^2+25y +25^2}=\frac{(y-25)\cdot(y^2+25y+25^2)}{y^2+25y+25^2}=2023.\)

Egyszerűsítés és rendezés után azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle y=2048.\)

A \(\displaystyle 2^x\) szigorú monotonitása miatt a \(\displaystyle 2^x=2048\) egyenlet egyetlen megoldása pedig az

\(\displaystyle x=11.\)

Ellenőrzés után látható, hogy ez valóban megoldása az egyenletnek.

Statistics:

108 students sent a solution.
5 points:	51 students.
4 points:	28 students.
3 points:	18 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023