Problem C. 1792. (December 2023)
C. 1792. In triangle \(\displaystyle ABC\) let the midpoints of sides \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle AC\) be \(\displaystyle F\) and \(\displaystyle E\), respectively. Let \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\) be two arbitrary points in the plane of triangle \(\displaystyle ABC\). Let \(\displaystyle P'\) and \(\displaystyle Q'\) be the reflection of \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\) across \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\), respectively. Let \(\displaystyle M\) and \(\displaystyle N\) denote the midpoints of line segments \(\displaystyle PB\) and \(\displaystyle QC\), respectively. Prove that \(\displaystyle MN\parallel P'Q'\) and \(\displaystyle P'Q'=2MN\).
Submitted by Van Khea, Cambodia
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Helyezzük az \(\displaystyle ABC\) háromszöget a derékszögű koordináta-rendszerbe és legyenek az \(\displaystyle A,B,C\) pontok koordinátái
\(\displaystyle A(a_1, a_2);\qquad B(b_1,b_2); \qquad C(c_1,c_2),\)
ezzel az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok koordinátáira
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{E\Big(\frac{a_1+c_1}{2}, \frac{a_2+c_2}{2}\Big);\qquad F\Big(\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}\Big)}.\) |
Tekintsük a következő ábrát.
Ha a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontok koordinátái \(\displaystyle P(p_1,p_2)\) illetve \(\displaystyle Q(q_1,q_2)\), akkor, mivel a \(\displaystyle PP'\) és \(\displaystyle AC\) szakaszok közös felezőpontja \(\displaystyle E\), ezért (1) alapján \(\displaystyle \displaystyle{\frac{p_1+p'_1}{2}=\frac{a_1+c_1}{2}}\), illetve \(\displaystyle \displaystyle{\frac{p_2+p'_2}{2}=\frac{a_2+c_2}{2}}\).
Hasonlóképpen a \(\displaystyle QQ'\) és \(\displaystyle AB\) szakaszok közös felezőpontja \(\displaystyle F\), így \(\displaystyle \displaystyle{\frac{q_1+q'_1}{2}=\frac{a_1+b_1}{2}}\), illetve \(\displaystyle \displaystyle{\frac{q_2+q'_2}{2}=\frac{a_2+b_2}{2}}\).
Ebből egyszerű számolással adódik a \(\displaystyle P'\) és \(\displaystyle Q'\) pontok koordinátáira, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{P'\big(a_1+c_1-p_1; a_2+c_2-p_2\big),\qquad Q'\big(a_1+b_1-q_1; a_2+b_2-q_2\big)}.\) |
A \(\displaystyle PB\), illetve \(\displaystyle QC\) szakaszok felezőpontja \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\), ezért
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{M\Big(\frac{p_1+b_1}{2}; \frac{p_2+b_2}{2}\Big),\qquad N\Big(\frac{q_1+c_1}{2}; \frac{q_2+c_2}{2}\Big)}.\) |
A kezdő-és végpontok koordinátái és a (2), illetve (3) összefüggések segítségével felírjuk a \(\displaystyle \overrightarrow{P'Q'}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{NM}\) vektorok koordinátáit:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\overrightarrow{P'Q'}\big(b_1-c_1+p_1-q_1; b_2-c_2+p_2-q_2\big),\qquad \overrightarrow{NM}\Big(\frac{b_1-c_1+p_1-q_1}{2}; \frac{b_2-c_2+p_2-q_2}{2}\Big)}.\) |
A (4) összefüggés azt mutatja, hogy a \(\displaystyle \overrightarrow{P'Q'}\) vektor koordinátáit az \(\displaystyle \overrightarrow{NM}\) vektor megfelelő koordinátáinak kettővel való szorzása révén kapjuk. Ez egyrészt azt jelenti, hogy a \(\displaystyle \overrightarrow{P'Q'}\) vektor egyirányú az \(\displaystyle \overrightarrow{NM}\) vektorral, vagyis valóban teljesül, hogy a \(\displaystyle P'Q'\) egyenes párhuzamos az \(\displaystyle MN\) egyenessel.
Másrészt a vektorok hosszára vonatkozó ismeretek alapján (4)-ből az is adódik, hogy \(\displaystyle \Big|\overrightarrow{P'Q'}\Big|=2\cdot \Big|\overrightarrow{NM}\Big|\), azaz a \(\displaystyle P'Q'=2MN\) is fennáll. Ezzel a feladat mindkét állítását igazoltuk.
Megjegyzés. Könnyen igazolható, hogy a feladat állítása akkor is igaz, ha \(\displaystyle A,B,C\) és \(\displaystyle P,Q\) tetszőleges térbeli pontok.
Statistics:
42 students sent a solution. 5 points: Baksa Anna, Balogh Péter, Barna Márton, Braun Zsófia, Csiszár András, Göőz Lilla, Gyuricsek Ákos, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Mayer Péter, Medgyesi Júlia, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Simon Bálint, Szabó Donát, Tóth-Falusi Mihály, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Wodala Gréta Klára. 4 points: Harmincz Sára, Pánovics Máté, Veres Zsombor Gábor, Volford Barnabás. 3 points: 4 students. 1 point: 3 students. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023