Problem C. 1794. (January 2024)
C. 1794. Circles \(\displaystyle k_1\) and \(\displaystyle k_2\) are externally tangent to each other at point \(\displaystyle A\), circles \(\displaystyle k_2\) and \(\displaystyle k_3\) are externally tangent to each other at point \(\displaystyle B\), and finally circles \(\displaystyle k_1\) and \(\displaystyle k_3\) are externally tangent to each other at point \(\displaystyle C\). Line \(\displaystyle AB\) intersect circle \(\displaystyle k_3\) at point \(\displaystyle D\) (different from \(\displaystyle B\)). Prove that line segments \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle CD\) are perpendicular to each other.
(German competition problem)
(5 pont)
Deadline expired on February 12, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megolds. Legyenek a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\) körök középpontjai rendre \(\displaystyle O_1\), \(\displaystyle O_2\), \(\displaystyle O_3\). A feltételek alapján könnyen belátható, hogy az \(\displaystyle O_1, O_2, O_3\) pontok egy nem elfajuló háromszög csúcsai. Jelöljük az \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszög belső szögeit rendre \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma\)-val.
Ha két kör érinti egymást, akkor az érintési pontok a centrálison vannak, ezért az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok az \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszög oldalaira esnek. Tekintsük az alábbi ábrát.
Az \(\displaystyle O_1AC\) egyenlő szárú háromszögben
\(\displaystyle \displaystyle{O_1AC\sphericalangle=O_1CA=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}},\)
az \(\displaystyle O_2AB\) egyenlő szárú háromszögben pedig
\(\displaystyle \displaystyle{O_2AB\sphericalangle=O_2BA=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}}.\)
Eszerint \(\displaystyle \displaystyle{BAC\sphericalangle=180^{\circ}-O_1AC\sphericalangle-O_2AB\sphericalangle}\), ezért az előzőek szerint \(\displaystyle \displaystyle{BAC\sphericalangle=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}},\) és így
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{DAC\sphericalangle=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}}.\) |
A \(\displaystyle k_3\) körben \(\displaystyle BO_3C\sphericalangle=\gamma\) a kisebb \(\displaystyle BC\) ívhez tartozó középponti szög. Ugyanehhez az ívhez tartozó kerületi szög \(\displaystyle BDC\sphericalangle\) is, az egy körben ugyanahhoz az ívhez (pontosabban ugyanolyan hosszúságú ívhez) tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés alapján \(\displaystyle \displaystyle{BDC\sphericalangle=\frac{\gamma}{2}}\).
Ebből azonnal következik, hogy az \(\displaystyle ADC\) háromszögben
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{ADC\sphericalangle=\frac{\gamma}{2}}.\) |
Az (1) és (2) összefüggések alapján
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{DAC\sphericalangle+ADC\sphericalangle=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}}.\) |
Az \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszögben \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\), ezért (3) szerint
\(\displaystyle DAC\sphericalangle+ADC\sphericalangle=90^{\circ},\)
ez azonban éppen azt jelenti, hogy az \(\displaystyle ADC\) háromszögben \(\displaystyle ACD\sphericalangle=90^{\circ}\), vagyis \(\displaystyle AC\) valóban merőleges \(\displaystyle CD\)-re.
Megjegyzések. 1) A feladat állítása abban az esetben is teljesül, ha két kör kívülről érinti egymást és ez a két kör belülről érinti a harmadik kört.
2) Az (1) összefüggés után így is folytatható a megoldás:
\(\displaystyle ABO_2\sphericalangle=O_3BD\sphericalangle=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\). Az \(\displaystyle O_3BD\) egyenlő szárú háromszög, tehát: \(\displaystyle BO_3D\sphericalangle=\beta\).
Ugyanakkor a \(\displaystyle CO_3D\) háromszög is egyenlő szárú, amiből az következik, hogy \(\displaystyle O_3CD\sphericalangle=\frac{\alpha}{2}\), hiszen egyrészt \(\displaystyle CO_3D\sphericalangle=\gamma+\beta\), másrészt \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\). Ezt összevetve azzal, hogy \(\displaystyle O_1AC\sphericalangle=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\), azt kapjuk, hogy \(\displaystyle ACD\sphericalangle=90^{\circ}\), tehát \(\displaystyle AC\) valóban merőleges \(\displaystyle CD\)-re.
Statistics:
107 students sent a solution. 5 points: Baksa Anna, Biborka Bernadett, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Braun Zsófia, Budai Máté, Csiszár András, Domján István, Gyuricsek Ákos, Halmosi Dávid, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Kószó Ferenc, Mező Levente, Mikó Hédi Irma, Pázmándi Renáta , Simon Bálint, Szabó Donát, Tóth 207 Bence, Tóth Hanga Katalin, Török Eszter Júlia, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára. 4 points: 40 students. 3 points: 8 students. 2 points: 4 students. 1 point: 8 students. 0 point: 8 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 6 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024