Problem C. 1796. (January 2024)

C. 1796. A regular octahedron with edges of unit length is placed on the plane of one of its triangular face. Find the distance of this plane and the vertices of the octahedron that are not contained in this plane.

Proposed by Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Az \(\displaystyle ABCDEF\) egységnyi oldalú szabályos oktaédert az \(\displaystyle ABF\) szabályos háromszöglapjának \(\displaystyle S\) síkjára helyeztük, az erre a síkra nem illeszkedő csúcsok legyenek \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), legyen az \(\displaystyle ABCD\) négyzet átlóinak metszéspontja \(\displaystyle K\), illetve az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle G\). Tekintsük az alábbi ábrát.

Nyilvánvaló, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F\) pontoknak a \(\displaystyle K\)-ra vonatkozó tükörképei rendre \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\).

Ez azt is jelenti, hogy az \(\displaystyle S\) síkbeli \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle BF\) egymást metsző szakaszok \(\displaystyle K\)-ra vonatkozó \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle DE\) tükörképei szintén metszik egymást, és mivel \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle S\) síkon kívül elhelyezkedő pont, ezért \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle DE\) egy \(\displaystyle S\)-sel párhuzamos síkban vannak.

Ez egyenértékű azzal, hogy a \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) pontoknak az \(\displaystyle S\) síktól való távolsága azonos, tehát elegendő a három közül egyetlen pont és az \(\displaystyle S\) sík távolságának meghatározása. Legyen ez a pont az \(\displaystyle E\).

Az \(\displaystyle E\) pontból merőlegest bocsátottunk az \(\displaystyle ABF\) háromszög síkjára, a merőleges talppontját \(\displaystyle H\)-val jelöltük. Így \(\displaystyle EH\) merőleges az \(\displaystyle S\) sík minden egyenesére, tehát az \(\displaystyle AH\) és \(\displaystyle BH\) egyenesekre is. Ebből az is következik, hogy az \(\displaystyle AHE\) és \(\displaystyle BHE\) egybevágó derékszögű háromszögek, hiszen \(\displaystyle EH\) közös befogója a két háromszögnek, illetve \(\displaystyle AE=BE=1\), és ezért \(\displaystyle AH=BH\).

Az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle ABH\) olyan egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek az \(\displaystyle AB\) oldala közös, ezért az ehhez tartozó magasságuk egyenese is azonos, ez pedig azt jelenti, hogy az \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) pontok egy egyenesen vannak.

Az \(\displaystyle EFH\) és \(\displaystyle EGH\) derékszögekre felírt Pitagorasz-tétel szerint:

Az \(\displaystyle EBK\) derékszögű háromszögre alkalmazva a Pitagorasz-tételt,

\(\displaystyle EK^2+BK^2=EB^2,\)

de mivel \(\displaystyle \displaystyle{BK=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) és \(\displaystyle EB=1\), ezért \(\displaystyle \displaystyle{EK^2=\frac{2}{4}}\) és így \(\displaystyle \displaystyle{EK=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), ebből azt kapjuk, hogy

Legyen most \(\displaystyle GH=x\). Mivel az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle ABE\) szabályos háromszögekben

ezért (1), (2) illetve (3) alapján

A (4) egyenletből a műveletek elvégzésével és rendezéssel adódik, hogy \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{1}{2\sqrt{3}}}\). Az \(\displaystyle EGH\) derékszögű háromszögben alkalmazva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle EH^2=EG^2-GH^2\), azaz

\(\displaystyle \displaystyle{EH^2=\Bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)^2-x^2},\)

ebből egyszerű számolással \(\displaystyle \displaystyle{EH^2=\frac{2}{3}}\), innen pedig

\(\displaystyle \displaystyle{EH=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}}.\)

Eredményünk szerint, ha az egységnyi élű \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos oktaédert az \(\displaystyle ABF\) háromszöglapjának síkjára fektetjük, akkor az erre a síkra nem illeszkedő \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) pontok mindegyike a síktól \(\displaystyle \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{3}}\) távolságra van.

2. megoldás. Az előző megoldáshoz hasonló ábrát készítünk, de most \(\displaystyle P\)-vel jelöljük a \(\displaystyle K\) pont merőleges vetületét az \(\displaystyle S\) síkon, azaz az \(\displaystyle ABF\) háromszög síkján.

Ekkor \(\displaystyle PA=PB=PC\), hiszen \(\displaystyle KA=KB=KC\). Ilyen tulajdonságú \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle ABF\) háromszög síkjában csak a körülírt kör középpontja, amely azonos az \(\displaystyle ABF\) szabályos háromszög súlypontjával.
Az 1. megoldás-ban leírt tükrözés tulajdonságai miatt az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle DEC\) síkok távolsága \(\displaystyle 2KP\)-vel egyenlő.

Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle \displaystyle{KG=\frac{1}{2}}\), továbbá a \(\displaystyle P\) súlypont tulajdonsága miatt \(\displaystyle \displaystyle{GP=\frac{\sqrt{3}}{6}}\).

A \(\displaystyle KGP\) háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \displaystyle{KP^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}},\)

ebből adódik, hogy \(\displaystyle \displaystyle{KP=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}}\). A két sík távolsága ennek a kétszerese, vagyis: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{3}}\).

Statistics:

61 students sent a solution.
5 points:	Baksa Anna, Balogh Péter, Barna Márton, Beke Botond, Bencze Mátyás, Braun Zsófia, Gyuricsek Ákos, Halmai Attila, Harmincz Sára, Hauser Márton, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Járdánházi-Kurutz Vilmos, Juhos Bálint András, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Pánovics Máté, Papp Zsófia, Simon Bálint, Somogyi Dóra, Szabó Donát, Szamkó Hanna, Tóth Ágoston, Viczián Márk, Volford Barnabás, Vu Ngoc Thao-Minh, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka.
4 points:	Bettesch Emma Léda, Csiszár András, Fercsák Flórián, Hajdú Ábel, Han Xinzhi, Károlyi József, Kendrovszki Dominik, Kincses Hanna Blanka, Mező Levente, Török Eszter Júlia, Veres Zsombor Gábor.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024