Problem C. 1799. (February 2024)

C. 1799. In the unit square \(\displaystyle ABCD\) we draw squares \(\displaystyle DEFG\), \(\displaystyle AHKE\), \(\displaystyle BMFL\) and \(\displaystyle CGNP\) according to the diagram below.

Find the largest possible value of the ratio of the sum of the areas of rectangles \(\displaystyle LFKH\) and \(\displaystyle MPNF\) to the area of square \(\displaystyle ABCD\). Find the exact value of ratio \(\displaystyle \frac{ED}{AD}\) in the extremal case.

Proposed by Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk a feladatban szereplő ábrát és annak jelöléseit a megoldáshoz is!

Legyen \(\displaystyle DE=x\). A \(\displaystyle DEFG\) négyzet, tehát \(\displaystyle DE=DG=x\). Ekkor igazak az alábbi egyenlőségek is:

\(\displaystyle EA=KH=FL=MB=LB=FM=NP=GC=1-x.\)

Az \(\displaystyle LFKH\) és \(\displaystyle MPNF\) téglalapok egybevágók, oldalaik pedig:

\(\displaystyle KH=FM=1-x,\)

\(\displaystyle HL=MP=1-2(1-x)=2x-1.\)

Területösszegüket \(\displaystyle x\) függvényében a következő kifejezések helyettesítési értékei adják meg (ahol \(\displaystyle 0<x<1\)):

\(\displaystyle T_{LFKH}+T_{MPNF}=2(1-x)(2x-1)=2\big(-2x^2+3x-1\big)=-4\Biggl(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\Biggr)=-4\Biggl(\Bigl(x-\frac{3}{4}\Bigr)^2-\frac{1}{16}\Biggr)=-4\Biggl(x-\frac{3}{4}\Biggr)^2+\frac{1}{4}.\)

Ennek a kifejezésnek pontosan akkor van maximuma, ha \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{3}{4}}\), ebben az esetben a helyettesítési érték, vagyis a maximális területösszeg \(\displaystyle \displaystyle\frac{1}{4}\). A keresett arány pedig \(\displaystyle \displaystyle{\frac{ED}{AD}=\frac{x}{1}=\frac{3}{4}}\).

Statistics:

166 students sent a solution.
5 points:	93 students.
4 points:	31 students.
3 points:	7 students.
2 points:	6 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2024