Problem C. 1800. (February 2024)
C. 1800. Prove that if \(\displaystyle n\) is a natural number, then the interval \(\displaystyle \left[\sqrt{16n+21},\sqrt{16n+24}\right]\) contains no integers.
Proposed by Gábor Holló, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on March 11, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy létezik egy \(\displaystyle k\) pozitív egész szám, amely az adott intervallumban van, azaz igaz, hogy \(\displaystyle \sqrt{16n+21}\le k \le \sqrt{16n+24}.\) Tudjuk, hogy \(\displaystyle n \ge 0\), tehát \(\displaystyle 16n+21\) pozitív, így a gyökvonások mindig értelmezettek, valamint mindhárom szám pozitív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás. Négyzetre emelés után azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle 16n+21\le k^2 \le 16n+24,\)
tehát a \(\displaystyle 16n+21,\) \(\displaystyle 16n+22,\) \(\displaystyle 16n+23,\) \(\displaystyle 16n+24\) számok valamelyike négyzetszám kell hogy legyen. Mivel \(\displaystyle 16n+21=16(n+1)+5\), ezért \(\displaystyle 16\)-tal osztva \(\displaystyle 5\) maradékot ad. A \(\displaystyle 16n+22\) szám \(\displaystyle 16\)-tal való osztási maradéka \(\displaystyle 6\), a \(\displaystyle 16n+23\)-é \(\displaystyle 7\), a \(\displaystyle 16n+24\)-é pedig \(\displaystyle 8\). Most nézzük meg, hogy egy \(\displaystyle m\) egész szám négyzete \(\displaystyle 16\)-tal osztva milyen maradékot adhat.
| Az \(\displaystyle m\) maradéka | \(\displaystyle m\) | \(\displaystyle m^2\) | Az \(\displaystyle m^2\) maradéka |
| \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 16l\) | \(\displaystyle 256l^2\) | \(\displaystyle 0\) |
| \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 15\) | \(\displaystyle 16l \pm 1\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 32l +1\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 2\) vagy \(\displaystyle 14\) | \(\displaystyle 16l \pm 2\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 64l +4\) | \(\displaystyle 4\) |
| \(\displaystyle 3\) vagy \(\displaystyle 13\) | \(\displaystyle 16l \pm 3\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 96l +9\) | \(\displaystyle 9\) |
| \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 16l \pm 4\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 128l +16\) | \(\displaystyle 0\) |
| \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 16l \pm 5\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 160l +25\) | \(\displaystyle 9\) |
| \(\displaystyle 6\) vagy \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 16l \pm 6\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 192l +36\) | \(\displaystyle 4\) |
| \(\displaystyle 7\) vagy \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 16l \pm 7\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 224l +49\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 16l + 8\) | \(\displaystyle 256l^2 +256l +64\) | \(\displaystyle 0\) |
A táblázatból kiolvashatjuk, hogy egy négyzetszám \(\displaystyle 16\)-tal osztva csak \(\displaystyle 0, 1, 4\) vagy \(\displaystyle 9\) maradékot adhat. Ellentmondásra jutottunk, hiszen láttuk, hogy ha létezne megfelelő \(\displaystyle k\), akkor a négyzetének \(\displaystyle 16\)-tal való osztási maradéka kizárólag \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) vagy \(\displaystyle 8\) lehetne. Ezzel a bizonyítás végére értünk, beláttuk, hogy amennyiben \(\displaystyle n\) természetes szám, akkor a \(\displaystyle \left[\sqrt{16n+21}; \sqrt{16n+24}\right ]\) intervallum nem tartalmaz egyetlen egész számot sem.
Statistics:
120 students sent a solution. 5 points: 59 students. 4 points: 8 students. 3 points: 3 students. 2 points: 4 students. 1 point: 11 students. 0 point: 20 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 6 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2024