Problem C. 1801. (February 2024)

C. 1801. Let sequence \(\displaystyle a_n\) be defined as \(\displaystyle a_1=2\) and \(\displaystyle a_n=a_{n-1}+2n\). Find the sum of the reciprocals of the first 2024 terms of the sequence (i.e. find the value of \(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+ \dots +\frac{1}{a_{2024}}\)).

Proposed by Gergely Szmerka, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A sorozat első tagja \(\displaystyle 2\), ez az első pozitív páros szám, az \(\displaystyle n\)-edik tagja pedig éppen az \(\displaystyle n\)-edik pozitív páros számmal lesz nagyobb az (\(\displaystyle n-1\))-edik tagnál. Az \(\displaystyle n\)-edik tag tehát éppen az első \(\displaystyle n\) darab pozitív páros szám összege.
\(\displaystyle \displaystyle{a_1=2}\),
\(\displaystyle \displaystyle{a_2=2+2 \cdot 2=2+4=6}\),
\(\displaystyle \displaystyle{a_3=2+4+2\cdot3=2+4+6=12}\),
\(\displaystyle \vdots\)
\(\displaystyle \displaystyle{a_n=2+4+\dots+2n=2(1+2+\dots+n)=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1).}\)
A sorozat tetszőleges elemének reciproka felbontható egy kéttagú összegre: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\). Így tehát a keresett összeg a következőképp írható fel:

\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+ \dots +\frac{1 }{a_{2024}}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\dots +\frac{1}{2024\cdot2025}=\)

\(\displaystyle =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\pm\dots +\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}.\)

Ebben az összegben a szomszédos tagok láthatóan kiütik egymást úgy, hogy megmarad az első és az utolsó:

\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+ \dots +\frac{1 }{a_{2024}}=1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}.\)

Statistics:

73 students sent a solution.
5 points:	Bajor Tünde, Balogh Péter, Barna Márton, Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Bettesch Emma Léda, Biborka Bernadett, Braun Zsófia, Dancsák Dénes, Gyuricsek Ákos, Harmincz Sára, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Jankovics Gábor, Járdánházi-Kurutz Vilmos, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Mező Levente, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Nagy 665 Martin, Palásthy Bánk, Pánovics Máté, Petró Péter, Simon Bálint, Szabó Donát, Tóth-Falusi Mihály, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Varga Balázs, Viczián Márk, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka.
4 points:	Feczkó Illés Tivadar, Hajdú Ábel, Halmai Attila, Papp Zsófia, Puskás Péter, Raffay Gergely, Ruttkay Zoltán Gergő, Sebők Violetta Írisz, Somogyi Dóra, Tóth Ágoston.
3 points:	9 students.
2 points:	6 students.
1 point:	10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2024