Problem C. 1805. (March 2024)
C. 1805. Solve equation \(\displaystyle {\frac{6x-3}{3x}-\Big(3y^2-14xy+8x\Big)^2=x}\) for positive real numbers \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\).
Proposed by Bálint Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle x\neq 0\).
Mivel \(\displaystyle \displaystyle{\frac{6x-3}{3x}=2-\frac{1}{x}}\), ezért \(\displaystyle \displaystyle{2-\frac{1}{x}-\Big(3y^2-14xy+8x\Big)^2=x}\), illetve
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{2-\Big(3y^2-14xy+8x\Big)^2=x+\frac{1}{x}}.\) |
A feltétel szerint \(\displaystyle x>0\), így az \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}\geq 2}\) egyenlőtlenség alapján az (1) egyenlet jobb oldala legalább \(\displaystyle 2\), míg a bal oldal értéke \(\displaystyle \Big(3y^2-14xy+8x\Big)^2\geq 0\) miatt legfeljebb \(\displaystyle 2\). Ez csakis úgy lehetséges, ha mindkét oldal értéke \(\displaystyle 2\), ami azt is jelenti, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\Big(3y^2-14xy+8x\Big)^2=0}\), és ezért
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 3y^2-14xy+8x=0.\) |
Ugyanakkor az \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=2}\) egyenlőség csak \(\displaystyle x=1\) esetén áll fenn. Az \(\displaystyle x=1\) értéket a (2) egyenletbe helyettesítve a
\(\displaystyle 3y^2-14y+8=0\)
másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai \(\displaystyle y_1=4\) és \(\displaystyle \displaystyle{y_2=\frac{2}{3}}\).
Az egyenletnek tehát két megoldása van:
\(\displaystyle \displaystyle{x=1, y=4; \quad x=1, y=\frac{2}{3}}.\)
Számolással egyszerűen ellenőrizhető, hogy mindkét számpár valóban megoldása az egyenletnek és csak ezek a megoldások, hiszen átalakítási lépéseink ekvivalensek voltak.
Statistics:
126 students sent a solution. 5 points: Baksa Anna, Balogh Péter, Biborka Bernadett, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bölkény Beatrix, Budai Máté, Domján István, Gyuricsek Ákos, Halmosi Dávid, Holczer Kenéz, HomolyaDániel123, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Jurácsik Marcell, Kasza Ottó Márk, Kókai Ákos, Kószó Ferenc, Kökény Kristóf, Kővágó Edit Gréta, Kulcsár Anna Zita, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Miliczki Lilla, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Nagy Huba, Papp Zsófia, Pázmándi József Áron, Pázmándi Renáta , Petró Péter, Polyányi Lora Molli, Rasztgyörgy Jázmin, Simon Bálint, Somogyi Dóra, Szabó Donát, Tóth Kinga, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Varga 511 Vivien, Viczián Adél, Viczián Márk, Žigo Boglárka. 4 points: 51 students. 3 points: 7 students. 2 points: 1 student. 1 point: 5 students. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions. Not shown because of missing birth date or parental permission: 7 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024