Problem C. 1806. (March 2024)

C. 1806. The login to a banking application on a smartphone requires a four-digit PIN code. For security reasons, the digits appear randomly at the keypad locations shown in the diagram such that the probability of each possible distribution is the same. (One possible distribution is shown in the diagram.) If our PIN code consists of four different digits, what is the probability that we leave fingerprints at the same locations during two logins?

Proposed by Merse Előd Gáspár, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A számjegyek különbözőek és a billentyűhelyekre tetszőleges sorrendben kerülhetnek, így összesen \(\displaystyle 10!=3\,628 \,800\) eset van. Amikor először beírjuk a PIN-kódunkat, akkor rögzítjük azt a négy billentyűhelyet, amelyeket a második belépéskor használni fogunk. Kedvező esetben a PIN-kódunk négy különböző számjegye \(\displaystyle 4!\)-féleképpen kerülhet az előzőleg használt négy helyre, a maradék hat számjegy pedig \(\displaystyle 6!\)-féleképpen kerülhet a többi billentyűhelyre. Ez a két esemény független egymástól, így a kedvező esetek száma \(\displaystyle 4! \cdot 6!=24 \cdot 720=17\,280\).
A keresett valószínűség: \(\displaystyle p=\displaystyle{\frac{17\,280}{3\,628\,800} = \frac{1}{210}} \approx 0,\!00476 \).

Statistics:

75 students sent a solution.
5 points:	52 students.
4 points:	2 students.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	11 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024