Problem C. 1818. (September 2024)
C. 1818. Let \(\displaystyle ABCD\) be a unit square, and let \(\displaystyle k\) be the circle with center \(\displaystyle A\) and radius \(\displaystyle AC\). Let \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\) be the points of intersection of circle \(\displaystyle k\) and rays \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle AD\), respectively. Let line \(\displaystyle EF\) intersect \(\displaystyle BC\) at point \(\displaystyle G\), and let \(\displaystyle H\) be the reflection of point \(\displaystyle B\) across line \(\displaystyle AG\). Find the length of line segment \(\displaystyle HE\) in the given unit.
Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A \(\displaystyle 130\)-at prímtényezőkre bontjuk: \(\displaystyle 130=2 \cdot 5 \cdot 13\). A számelmélet alaptétele miatt a \(\displaystyle k; \ddot o; m; a; l\) számokban is csak ezek a prímtényezők szerepelhetnek. Látjuk, hogy mindhárom prímtényező egyszer szerepel a felbontásban. Állítsuk elő ezekből a \(\displaystyle k; \ddot o; m; a; l\) számokat! A \(\displaystyle k; \ddot o; m; a; l\) bármelyikének prímtényezőjeként szerepelhet a három prímtényező bármelyike, így \(\displaystyle 5^3=125\) különböző lehetőséget kapunk. Amelyik betűhöz nem választunk ki egy prímtényezőt sem, annak értéke \(\displaystyle 1\), ily módon \(\displaystyle 125\) olyan számötöst kapunk, amelyek szorzata \(\displaystyle 130\). Most megvizsgáljuk az előjeleket. Ha az első négy szám szorzata pozitív– azaz nincs köztük negatív, vagy két negatív van köztük, vagy mind a négy negatív – akkor az ötödik szám negatív kell hogy legyen, hiszen az öt szám szorzata negatív. Ha pedig az első négy szám szorzata negatív – azaz közülük egy vagy három negatív – akkor az öt szám szorzata csak úgy lehet negatív, ha az ötödik szám pozitív. A fentiek alapján tehát az első négy szám előjelét tetszőlegesen választhatjuk, ekkor azonban az ötödik szám előjele egyértelműen meghatározott, vagyis az előjeleket \(\displaystyle 2^4=16\)-féleképpen választhatjuk meg. A prímtényezőket és az előjeleket egymástól függetlenül választjuk ki, ezért a feladat összes feltételének megfelelő számötösből \(\displaystyle 125 \cdot 16=2000\) darab van.
Statistics:
305 students sent a solution. 5 points: 109 students. 4 points: 18 students. 3 points: 23 students. 2 points: 78 students. 1 point: 30 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 4 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 29 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2024