Problem C. 1828. (November 2024)

C. 1828. Anna added the positive integers from \(\displaystyle 1\) to \(\displaystyle 500\), however, she accidentally skipped a three digit number. Find the number of possibilities for this to happen, if she obtained a sum that is divisible by \(\displaystyle 3\), and also ends in a digit \(\displaystyle 3\)?

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 500\)-ig a pozitív egész számok összege

\(\displaystyle S_{500}= \frac{1+500}{2} \cdot 500=125\,250,\)

tehát Anna erre az eredményre jutott volna, ha semmit nem hagyott volna ki. Ez \(\displaystyle 3\)-mal osztható és \(\displaystyle 0\)-ra végződik, ezért Anna olyan háromjegyű számot hagyott ki, amely \(\displaystyle 7\)-re végződik és \(\displaystyle 3\)-mal osztható. Ezek: \(\displaystyle 117\); \(\displaystyle 147\); \(\displaystyle \ldots\); \(\displaystyle 447\); \(\displaystyle 477\). Két szomszédos megfelelő szám különbsége \(\displaystyle 30\), mivel az utolsó jegy rögzített, így összesen \(\displaystyle \frac{477-117}{30}+1=13\) ilyen szám van, mindegyik megfelel a feladat feltételeinek.

Tizenhárom olyan pozitív egész szám van, amelyet Anna kihagyhatott.

Statistics:

282 students sent a solution.
5 points:	136 students.
4 points:	24 students.
3 points:	60 students.
2 points:	17 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	28 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024