Problem C. 1830. (November 2024)

C. 1830. The elements of set \(\displaystyle A=\{x;y;z;u;v\}\) are natural numbers satisfying \(\displaystyle x+2y=3v\) and \(\displaystyle z+u=2v\). Prove that the elements of \(\displaystyle A\) cannot be consecutive natural numbers.

Matlap, Kolozsvár

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle u\), \(\displaystyle v\) természetes számok egy halmaz elemei, ezért páronként különbözőek.

Indirekt módon bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle u\), \(\displaystyle v\) valamilyen sorrendben egymás utáni természetes számok, azaz

\(\displaystyle A=\big\{a;a+1;a+2;a+3;a+4\big\}.\)

A \(\displaystyle z+u=2v\) feltétel szerint \(\displaystyle v\) csak a \(\displaystyle z\) és \(\displaystyle u\) közötti szám lehet.

Ha feltesszük, hogy \(\displaystyle x<y\), akkor az \(\displaystyle x+2y=3v\) feltétel felhasználásával azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 3x<x+2y=3v<3y\), vagyis \(\displaystyle x<v<y\), tehát \(\displaystyle v\) az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közé esik.

Ha pedig \(\displaystyle y<x\), akkor egyszerűen beláthatjuk, hogy \(\displaystyle y<v<x\), vagyis \(\displaystyle v\) így is az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) között van.

A fentiek alapján az öt szám közül \(\displaystyle v\) csak a középső lehetne. Az \(\displaystyle u\) és \(\displaystyle z\) a \(\displaystyle v\)-hez képest szimmetrikusan helyezkednek el.

Eszerint \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) csak az \(\displaystyle a,a+4\), vagy az \(\displaystyle a+1,a+3\) számpár lehetnek.

Mindkettő ellentmond azonban az \(\displaystyle x+2y=3v\) feltételnek, vagyis annak, hogy \(\displaystyle x+2y\) \(\displaystyle 3\)-mal osztható.

Ellentmondásra jutottunk, így az indirekt feltevés hamis, tehát az \(\displaystyle A=\big\{x;y;z;u;v\big\}\) halmaz elemei valóban nem lehetnek közvetlen egymás utáni természetes számok.

Statistics:

188 students sent a solution.
5 points:	60 students.
4 points:	23 students.
3 points:	12 students.
2 points:	9 students.
1 point:	6 students.
0 point:	51 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	15 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024