Problem C. 1835. (December 2024)
C. 1835. \(\displaystyle \lfloor x \rfloor\) denotes the floor of number \(\displaystyle x\), and \(\displaystyle \{x\}\) denotes its fractional part. Prove that equation \(\displaystyle {\left[x\right]\cdot\{x\}=\frac{2024}{2025}}\) has an infinite number of solutions on the set of rational numbers.
Proposed by: Mihály Bence, Brassó
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Elegendő egy olyan konstrukciót adnunk az \(\displaystyle x\) racionális számra, amely végtelen sok racionális számot határoz meg, és amely kielégíti az \(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]\cdot\{x\}=\frac{2024}{2025}}\) egyenletet.
Legyen
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{x=2024n+\frac{1}{2025n}},\) |
ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész.
Az így definiált \(\displaystyle x\) biztosan racionális számot határoz meg, hiszen a \(\displaystyle 2024n\) egész szám és az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2025n}}\) racionális szám összegeként jön létre. Másrészt mivel \(\displaystyle n\) végtelen sok értéket vehet fel, ezért (1) végtelen sok racionális számot állít elő.
Ugyanakkor \(\displaystyle \displaystyle{0<\frac{1}{2025n}<1}\) miatt nyilvánvaló, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]=2024n}\) |
és
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \{x\}=\frac{1}{2025n}.\) |
A (2) és (3) megfelelő oldalainak összeszorzásával kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]\cdot\{x\}=\frac{2024}{2025}},\)
ezzel igazoltuk a feladat állítását.
Megjegyzés. Vannak más megoldások is. Ha például \(\displaystyle 2024=a\cdot b\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, vagyis \(\displaystyle a,~b\) a \(\displaystyle 2024\) egy osztópárja, akkor legyen
\(\displaystyle \displaystyle{x=a\cdot n+\frac{b}{2025\cdot n}}.\)
Ekkor
\(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{2024}{b}\cdot n+\frac{b}{2025\cdot n}}\)
és nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]=\frac{2024}{b}\cdot n}\), valamint \(\displaystyle \displaystyle{\{x\}=\frac{b}{2025\cdot n}}\), így \(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]\cdot\{x\}=\frac{2024}{2025}}\). Ez a konstrukció végtelen sok, a feladat feltételeinek megfelelő racionális számot állít elő, hiszen \(\displaystyle n\) végtelen sok pozitív egész értéket vehet fel.
Ugyancsak végtelen sok racionális számot képezhetünk a \(\displaystyle 2024\) bármely más pozitív osztópárjával.
Statistics:
171 students sent a solution. 5 points: 58 students. 4 points: 49 students. 3 points: 22 students. 2 points: 16 students. 1 point: 2 students. 0 point: 5 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 9 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2024