Problem C. 1836. (December 2024)
C. 1836. Circle \(\displaystyle k\) containing the endpoints of the base \(\displaystyle AB\) of isosceles triangle \(\displaystyle ABC\) touches lines \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle BC\) at \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\). Let \(\displaystyle P\) be a point of circle \(\displaystyle k\) that is different from points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\). Prove that the distance of \(\displaystyle P\) from side \(\displaystyle AB\) is at most the average of its distances from sides \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle BC\).
Proposed by: Bálint Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a \(\displaystyle k\) kör középpontját \(\displaystyle O\)-val. Mivel \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) a \(\displaystyle k\) kör érintői, ezért \(\displaystyle OA\) merőleges \(\displaystyle AC\)-re és \(\displaystyle OB\) merőleges \(\displaystyle BC\)-re. Az \(\displaystyle AB\) egyenese az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkját két félsíkra, a \(\displaystyle k\) körvonalat két körívre bontja, a két körív egyike a \(\displaystyle C\) ponttal azonos, a másik körív azzal ellentétes félsíkban van.
Válasszuk a \(\displaystyle P\) pontot az utóbbi köríven, a \(\displaystyle P\)-ből az \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AB\) egyenesekre bocsájtott merőlegesek talppontjai rendre \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\).
A \(\displaystyle P\) pontból az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\) pontokba húzott szakaszok hosszát a megfelelő kisbetűvel jelöljük, alkalmazzuk továbbá a \(\displaystyle CAB\sphericalangle=CBA\sphericalangle=\alpha\) és az \(\displaystyle PBA\sphericalangle=\beta\) jelölést.
Az ábrán szereplő \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) szakaszokra azt kell bizonyítani, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{z\leq\frac{x+y}{2}}.\) |
A kerületi szögek tétele szerint \(\displaystyle PAX\sphericalangle=PBA\sphericalangle=\beta\), hiszen \(\displaystyle PAX\sphericalangle\) a \(\displaystyle k\) körben a \(\displaystyle B\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle AP\) ívhez tartozó érintő szárú kerületi szög, \(\displaystyle PBA\sphericalangle=\beta\) pedig ugyanehhez az ívhez tartozó kerületi szög.
Ebből az következik, hogy a \(\displaystyle PAX\) és \(\displaystyle PBZ\) derékszögű háromszögek hasonlók, és így a megfelelő oldalak aránya egyenlő, vagyis
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{x}=\frac{b}{z}},\)
ahonnan azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{x}{z}}.\) |
A csúcsszögek egyenlősége miatt \(\displaystyle XAZ\sphericalangle=\alpha\), így \(\displaystyle PAZ\sphericalangle=\alpha+\beta\), továbbá \(\displaystyle PBY\sphericalangle=\alpha+\beta\), ezért a \(\displaystyle PAZ\) és \(\displaystyle PBY\) derékszögű háromszögek szintén hasonlók. Ebből következik, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{z}=\frac{b}{y}},\)
amelyből
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{z}{y}}.\) |
Az (2) és (3) összefüggések együttes figyelembevételével adódik, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{z}=\frac{z}{y}},\)
ahonnan rendezés után
\(\displaystyle z^2=xy,\)
tehát a \(\displaystyle PZ=z\) szakasz hossza a \(\displaystyle PX=x\) és \(\displaystyle PY=y\) szakaszok hosszának mértani közepe.
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{z\leq\frac{x+y}{2}},\)
ez pedig éppen a bizonyítandó (1) egyenlőtlenség.
Egyenlőség nyilván akkor van, ha \(\displaystyle x=y\), ez pontosan akkor következik be, ha \(\displaystyle PA=PB\), azaz, ha \(\displaystyle P\) felezőpontja a \(\displaystyle k\) kör azon ívének, amelyre illeszkedik.
Ezzel a megoldást befejeztük.
Megjegyzés. A feladat állításának igazolása ugyanígy írható le, ha \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle k\) körnek azon ívére illeszkedik, amelyik a \(\displaystyle C\) ponttal azonos félsíkban van, továbbá akkor is, ha a \(\displaystyle Z\) pont az \(\displaystyle AB\) szakasz belső- vagy határpontja. Ha például \(\displaystyle A=Z\), akkor könnyen igazolható, hogy \(\displaystyle B=Y\), így a \(\displaystyle PAX\) és \(\displaystyle PBZ\) derékszögű háromszögek hasonlóságából \(\displaystyle z^2=xy\) azonnal adódik.
Statistics:
20 students sent a solution. 5 points: Budai Máté, Hetyei Dániel, Horvath Benedek, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Kulcsár Anna Zita, Masa Barnabás. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 1 point: 3 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2024