Problem C. 1838. (January 2025)

C. 1838. We have written numbers 1, 2, 3, \(\displaystyle \ldots\), 2024, 2025 on the blackboard. Farkas and Piroska take turns deleting the numbers from the blackboard until only two numbers remain on the blackboard. Piroska wins if the sum of the last two numbers is divisible by 11. How can Piroska win this game, if she starts the game? (Based on a German competition problem)

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy nyerő stragégia első lépése lehet az, hogy a kezdő játékos, azaz Piroska letörli a \(\displaystyle 2025\)-öt, ezután a táblán maradó számok olyan párokba rendezhetők, amelyek összege osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, legyenek ezek az úgynevezett tizenegyespárok. A \(\displaystyle 2024\) tizenegyespárja legyen az \(\displaystyle 1012\), hiszen mindkét szám osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, így az összegük is. Egyébként pedig a \(\displaystyle k\) szám tizenegyespárja a \(\displaystyle 2024-k\), hiszen ezek összege \(\displaystyle k+2024-k=2024\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel. (A \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle 2024-k\) számok minden párnál különböző számok lesznek, mert az \(\displaystyle 1012\) számot már korábban kiválasztottuk.) Amikor Farkas letöröl egy számot, Piroska rögtön utána letörli annak tizenegyespárját, amely ekkor még biztosan a táblán van, hiszen a \(\displaystyle 2025\)-nek nem volt párja, utána pedig mindig párosával kerülnek törlésre a számok. Így a végén megmaradó két szám is egy tizenegyespárt alkot, tehát összegük osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, ami azt jelenti, hogy Piroska nyer.

Statistics:

177 students sent a solution.
5 points:	63 students.
4 points:	21 students.
3 points:	37 students.
2 points:	8 students.
1 point:	11 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	22 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2025